20.3. Возможность усиления электромагнитного поля в квантовых системах

То обстоятельство, что вынужденное излучение возбужден­ных микрочастиц при переходах с верхнего энергетического уров­ня на нижний когерентно (совпадает по частоте, фазе, поляриза­ции и направлению распространения) с вынуждающим, наталкивает на мысль о возможности использования вынужден­ных переходов для усиления электромаг­нитного поля. Чтобы оценить возмож­ность такого усиления, рассмотрим обмен энергии между полем и веществом. Бу­дем предполагать, что вещество имеет два энергетических уровня и с населенностями и (рис. 20.6), а частота внешнего поля равна частоте квантового перехода . При объемной плотности энергии число вынужденных переходов в единицу времени в единице объема с выделением энергии

(20.26)

а выделяемая при этих переходах энергия в единице объема в еди­ницу времени, т.е. мощность,

(20.27)

Аналогично число вынужденных переходов с поглощением энергии и поглощаемая от внешнего поля мощность в единице объема соответственно

(20.28)

(20.29)

С учетом (20.27) и (20.29) изменение мощности электромагнит­ного поля

(20.30)

Назовем эту величину мощностью взаимодействия.

Если P > 0, т.е. выделяемая мощность превышает поглощае­мую, то в системе происходит увеличение энергии поля или усиле­ние электромагнитного поля. При Р < 0 преобладает поглощение энергии и энергия внешнего поля убывает.

Таким образом, условием усиления (Р > 0) из (20.30) будет

или (20.31)

В состоянии термодинамического равновесия населенность верхнего уровня меньше, чем нижнего (<) в соответствии с законом Больцмана (20.11). Поэтому вещество в этом состоянии поглощает энергию внешнего поля (Р < 0), так как число квантовых переходов снизу вверх (12) с поглощением энергии больше числа квантовых переходов сверху вниз (21)выделением энергии.

Соотношение >является обратным (инверсным) по от­ношению к состоянию термодинамического равновесия, когда <.Поэтому состояние, при котором >, т.е. возможно усиле­ние, называютсостоянием с инверсией населенностей уровней.

Закон Больцмана, справедливый для термодинамического рав­новесия, можно записать так:

(20.32)

Величину называюттемпературой перехода. Формально при состоянии с инверсией населенностей эта температура отрица­тельна (< 0).

Среда, в которой имеется состояние с инверсией населенно­стей, называется также активной средой, так как в ней возможно усиление электромагнитного поля.

В состоянии термодинамического равновесия <,поэто­му при воздействии электромагнитного поля число вынужденных переходов снизу вверх (12) больше числа вынужденных перехо­дов сверху вниз (21): населенность нижнего уровня убывает, а верхнего – растет. При достаточно большой объемной плотности энергии поля может произойти выравнивание населенностей уровней (=), когда числа вынужденных переходов 12 и 21 равны, т.е. наступает динамическое равновесие. Явление вырав­нивания населенностей уровней называют насыщением перехода. Таким образом, при воздействии электромагнитного поля на двух­уровневую систему можно добиться насыщения перехода, но не инверсии населенностей.

Населенности уровней при любом значении объемной плотно­сти энергии поля находятся из решения скоростных (кинетичес­ких) уравнений. Для двухуровневой системы скорости изменения населенностей уровней

(20.33)

(20.34)

(20.35)

где N – полное число частиц.

Поясним процедуру составления уравнений (20.33) и (20.34). Населенность уровня 1 в единицу времени убывает вследствие вынужденных переходов 12 на величину , а из-за безызлучательных переходов 12 – на величину . Одновременно происходит рост населенностивследствие переходов 21 на величину (вынужденные переходы), (спонтанные переходы) и (безызлучательные переходы). Аналогично в (20.34) первые два слагае­мых учитывают увеличениев результате вынужденных и безызлучательных переходов 12, а остальные определяют убываниевследствие вынужден­ных, спонтанных и безызлучательных переходов 21.

Очевидно, что для двухуровневой системы при сохранении полного числа частиц = –.

В стационарном состоянии ==0, поэтому вместо (20.33) – (20.35) можно написать систему двух уравнений:

(20.36)

(20.37)

Решая эту систему уравнений, можно найти стационарные величины и, а затем их разность и отношение:

(20.38)

(20.39)

(20.40)

(20.41)

(20.42)

На рис. 20.7,а показаны зависимости иот объемной плот­ности энергии, для случая, когда система до воздействия электро­магнитного поля находилась в термодинамическом равновесии с населенностями и , определяемыми законом Больцмана (20.11). Из (20.38) и (20.39) следует, что при малых значениях на­селенность нижнего уровняубывает, а верхнегорастет по ли­нейному закону. При очень больших значениях плотности энергии ()истремятся к среднему значениюN/2 = (+)/2, соответствующему насыщению переходов.

На рис. 20.7,б пока­заны зависимостииотпри воздейст­вии электромагнитного поля на систему с ин­версией населенностей уровней. При от­сутствии поля (=0) населенности уровней равныи, причем >. С ростом убывает, арастет от значенийипо линейному закону, но при большихасимптотически они приближаются к среднему зна­чениюN/2=(+)/2, соответствующему насыщению перехода.

Разность населенностей уровней –(20.40) определяет мощность взаимодействияР, введенную формулой (20.30). Подста­вив (20.40) в (20.30), получим

(20.43)

Эта формула позволяет найти зависимость мощности взаимодей­ствия от объемной плотности энергии электромагнитного поля, взаимодействующего с веществом. ЗависимостьP(), представ­ленная на рис. 20.8, определяется в (20.43) отношением . При увеличении мощность сначала (когда <<1) ли­нейно растет, а затем стремится к предельному значению , которое определяется путем раскрытия неопределенности в (20.43) при, т.е. в состоянии насыщения перехода:

(20.44)

Используя соотношение (20.18) и учитывая, что обычно вероятность релаксационных переходов много больше вероятности спонтанных, вы­ражению (20.43) можно придать бо­лее простой и наглядный вид:

(20.45)

где – время релаксации (см. § 20.1).

В состоянии насыщения при (=), когда мощ­ность, выделяемая при вынужденных переходах 21, равна мощ­ности, поглощаемой при вынужденных переходах 12, от элект­ромагнитного поля отбирается мощность. Эта мощность не­обходима для поддержания равенства населенностей уровней, ко­торое постоянно стремится нарушаться из-за наличия спонтанных и безызлучательных переходов с вероятностями, и . Чи­сло этих переходов непосредственно от плотности энергии не за­висит и определяется только населенностью уровней. Получаемая от электромагнитного поля энергия рассеивается в веществе, на­пример в кристаллической решетке, в виде теплоты.

1 Исключением является полупроводниковый лазер, в котором используются потоки свободных носителей заряда, однако излучение света связано с квантовыми эффек­тами (излучательная рекомбинация).