![](/user_photo/1334_ivfwg.png)
- •Сигналы и линейные системы
- •Тема 2: метрология сигналов
- •Введение
- •2.1. Пространство сигналов [1,3,16,29].
- •2.2. Мощность и энергия сигналов [1,3,16].
- •2.3. Пространства функций [1,3,11,16,29].
- •2.4. Функции корреляции сигналов [1, 25, 29].
- •2.5. Математическое описание шумов и помех [1, 30].
- •Литература
- •О замеченных опечатках, ошибках и предложениях по дополнению: davpro@yandex.Ru. Буду благодарен.
2.4. Функции корреляции сигналов [1, 25, 29].
Функции корреляции сигналов применяются для интегральных количественных оценок формы сигналов и степени их сходства друг с другом.
Автокорреляционные функции (АКФ) сигналов (correlation function, CF). Применительно к детерминированным сигналам с конечной энергией АКФ является количественной интегральной характеристикой формы сигнала, и представляет собой интеграл от произведения двух копий сигнала s(t), сдвинутых относительно друг друга на время :
Bs()
= s(t)
s(t+)
dt. (2.4.1)
Как следует из этого выражения, АКФ является скалярным произведением сигнала и его копии в функциональной зависимости от переменной величины значения сдвига . Соответственно, АКФ имеет физическую размерность энергии, а при = 0 значение АКФ непосредственно равно энергии сигнала и является максимально возможным (косинус угла взаимодействия сигнала с самим собой равен 1):
Bs(0)
=s(t)2
dt = Es.
Функция АКФ является непрерывной и четной. В последнем нетрудно убедиться заменой переменной t = t- в выражении (2.4.1):
Bs()
=s(t)
s(t-)
dt =
s(t-)
s(t) dt = Bs(-).
С учетом четности, графическое представление АКФ обычно производится только для положительных значений . Знак + в выражении (2.4.1) означает, что при увеличении значений от нуля копия сигнала s(t+) сдвигается влево по оси t. На практике сигналы обычно также задаются на интервале положительных значений аргументов от 0-Т, что дает возможность продления интервала нулевыми значениями, если это необходимо для математических операций. В этих границах вычислений более удобным является сдвиг копии сигнала влево по оси аргументов, т.е. применение в выражении (2.4.1) функции s(t-):
Bs()
= s(t)
s(t-)
dt. (2.4.1')
По мере увеличения значения величины сдвига для финитных сигналов временное перекрытие сигнала с его копией уменьшается, а, соответственно, косинус угла взаимодействия и скалярное произведение в целом стремятся к нулю:
= 0.
Пример. На интервале (0,Т) задан прямоугольный импульс с амплитудным значением, равным А. Вычислить автокорреляционную функцию импульса.
При
сдвиге копии импульса по оси t вправо,
при 0≤≤T
сигналы перекрываются на интервале от
до Т. Скалярное произведение:
Bs()
=A2
dt = A2(T-).
При
сдвиге копии импульса влево, при -T≤<0
сигналы перекрываются на интервале от
0 до Т-.
Скалярное произведение:
Bs()
=
A2
dt = A2(T+).
При || > T сигнал и его копия не имеют точек пересечения и скалярное произведение сигналов равно нулю (сигнал и его сдвинутая копия становятся ортогональными).
Обобщая
вычисления, можем записать:
Bs()
=.
В случае периодических сигналов АКФ вычисляется по одному периоду Т, с усреднением скалярного произведения и его сдвинутой копии в пределах этого периода:
Bs()
= (1/Т)s(t)
s(t-)
dt.
При =0 значение АКФ в этом случае равно не энергии, а средней мощности сигналов в пределах интервала Т. АКФ периодических сигналов при этом также является периодической функцией с тем же периодом Т. Так, для сигнала s(t) = A cos(0t+0) при T=2/0 имеем:
Bs()
=
A cos(0t+0)
A cos(0(t-)+0)
= (A2/2)
cos(0).
Отметим, что полученный результат не зависит от начальной фазы гармонического сигнала, что характерно для любых периодических сигналов и является одним из свойств КФ.
Для сигналов, заданных на определенном интервале [a, b], вычисление АКФ также производится с нормировкой на длину интервала [a, b]:
Bs()
=s(t)
s(t+)
dt. (2.4.2)
В пределе, для непериодических сигналов с измерением АКФ на интервале Т:
Bs()
.
(2.4.2')
Автокорреляция сигнала может оцениваться и коэффициентом автокорреляции, вычисление которого производится по формуле (по центрированным сигналам):
rs() = cos () = s(t), s(t+) /||s(t)||2.
Взаимная корреляционная функция (ВКФ) сигналов (cross-correlation function, CCF) показывает степень сходства сдвинутых экземпляров двух разных сигналов и их взаимное расположение по координате (независимой переменной), для чего используется та же формула (2.4.1), что и для АКФ, но под интегралом стоит произведение двух разных сигналов, один из которых сдвинут на время :
B12()
= s1(t)
s2(t+)
dt. (2.4.3)
При замене переменной t = t- в формуле (2.4.3), получаем:
B12()
=s1(t-)
s2(t)
dt =
s2(t)
s1(t-)
dt = B21(-)
Отсюда следует, что для ВКФ не выполняется условие четности, а значения ВКФ не обязаны иметь максимум при = 0. Это можно наглядно видеть на рис. 2.4.1, где заданы два одинаковых сигнала с центрами на точках 0.5 и 1.5. Вычисление по формуле (2.4.3) с постепенным увеличением значений означает последовательные сдвиги сигнала s2(t) влево по оси времени (для каждого значения s1(t) для подынтегрального умножения берутся значения s2(t+)).
Рис. 2.4.1. Сигналы и ВКФ.
Рис. 2.4.2. Сигналы и ВКФ.
Для периодических сигналов понятие ВКФ обычно не применяется, за исключением сигналов с одинаковым периодом, например, сигналов входа и выхода систем при изучении характеристик систем.
Коэффициент взаимной корреляции двух сигналов вычисляется по формуле (по центрированным сигналам):
rsv() = cos () = s(t), v(t+) /||s(t)|| ||v(t)||. (2.4.4)
Значение коэффициента взаимной корреляции может изменяться от -1 до 1.