2.4. Функции корреляции сигналов [1, 25, 29].

Функции корреляции сигналов применяются для интегральных количественных оценок формы сигналов и степени их сходства друг с другом.

Автокорреляционные функции (АКФ) сигналов (correlation function, CF). Применительно к детерминированным сигналам с конечной энергией АКФ является количественной интегральной характеристикой формы сигнала, и представляет собой интеграл от произведения двух копий сигнала s(t), сдвинутых относительно друг друга на время :

B_s() = s(t) s(t+) dt. (2.4.1)

Как следует из этого выражения, АКФ является скалярным произведением сигнала и его копии в функциональной зависимости от переменной величины значения сдвига . Соответственно, АКФ имеет физическую размерность энергии, а при  = 0 значение АКФ непосредственно равно энергии сигнала и является максимально возможным (косинус угла взаимодействия сигнала с самим собой равен 1):

B_s(0) =s(t)² dt = E_s.

Функция АКФ является непрерывной и четной. В последнем нетрудно убедиться заменой переменной t = t- в выражении (2.4.1):

B_s() =s(t) s(t-) dt =s(t-) s(t) dt = B_s(-).

С учетом четности, графическое представление АКФ обычно производится только для положительных значений . Знак + в выражении (2.4.1) означает, что при увеличении значений  от нуля копия сигнала s(t+) сдвигается влево по оси t. На практике сигналы обычно также задаются на интервале положительных значений аргументов от 0-Т, что дает возможность продления интервала нулевыми значениями, если это необходимо для математических операций. В этих границах вычислений более удобным является сдвиг копии сигнала влево по оси аргументов, т.е. применение в выражении (2.4.1) функции s(t-):

B_s() = s(t) s(t-) dt. (2.4.1')

По мере увеличения значения величины сдвига  для финитных сигналов временное перекрытие сигнала с его копией уменьшается, а, соответственно, косинус угла взаимодействия и скалярное произведение в целом стремятся к нулю:

= 0.

Пример. На интервале (0,Т) задан прямоугольный импульс с амплитудным значением, равным А. Вычислить автокорреляционную функцию импульса.

При сдвиге копии импульса по оси t вправо, при 0≤≤T сигналы перекрываются на интервале от  до Т. Скалярное произведение:

B_s() =A² dt = A²(T-).

При сдвиге копии импульса влево, при -T≤<0 сигналы перекрываются на интервале от 0 до Т-. Скалярное произведение:

B_s() = A² dt = A²(T+).

При || > T сигнал и его копия не имеют точек пересечения и скалярное произведение сигналов равно нулю (сигнал и его сдвинутая копия становятся ортогональными).

Обобщая вычисления, можем записать:

B_s() =.

В случае периодических сигналов АКФ вычисляется по одному периоду Т, с усреднением скалярного произведения и его сдвинутой копии в пределах этого периода:

B_s() = (1/Т)s(t) s(t-) dt.

При =0 значение АКФ в этом случае равно не энергии, а средней мощности сигналов в пределах интервала Т. АКФ периодических сигналов при этом также является периодической функцией с тем же периодом Т. Так, для сигнала s(t) = A cos(₀t+₀) при T=2/₀ имеем:

B_s() = A cos(₀t+₀) A cos(₀(t-)+₀) = (A²/2) cos(₀).

Отметим, что полученный результат не зависит от начальной фазы гармонического сигнала, что характерно для любых периодических сигналов и является одним из свойств КФ.

Для сигналов, заданных на определенном интервале [a, b], вычисление АКФ также производится с нормировкой на длину интервала [a, b]:

B_s() =s(t) s(t+) dt. (2.4.2)

В пределе, для непериодических сигналов с измерением АКФ на интервале Т:

B_s() . (2.4.2')

Автокорреляция сигнала может оцениваться и коэффициентом автокорреляции, вычисление которого производится по формуле (по центрированным сигналам):

r_s() = cos () = s(t), s(t+) /||s(t)||².

Взаимная корреляционная функция (ВКФ) сигналов (cross-correlation function, CCF) показывает степень сходства сдвинутых экземпляров двух разных сигналов и их взаимное расположение по координате (независимой переменной), для чего используется та же формула (2.4.1), что и для АКФ, но под интегралом стоит произведение двух разных сигналов, один из которых сдвинут на время :

B₁₂() = s₁(t) s₂(t+) dt. (2.4.3)

При замене переменной t = t- в формуле (2.4.3), получаем:

B₁₂() =s₁(t-) s₂(t) dt = s₂(t) s₁(t-) dt = B₂₁(-)

Отсюда следует, что для ВКФ не выполняется условие четности, а значения ВКФ не обязаны иметь максимум при  = 0. Это можно наглядно видеть на рис. 2.4.1, где заданы два одинаковых сигнала с центрами на точках 0.5 и 1.5. Вычисление по формуле (2.4.3) с постепенным увеличением значений  означает последовательные сдвиги сигнала s2(t) влево по оси времени (для каждого значения s1(t) для подынтегрального умножения берутся значения s2(t+)).

Рис. 2.4.1. Сигналы и ВКФ.

При =0 сигналы ортогональны и значение B₁₂()=0. Максимум В₁₂() будет наблюдаться при сдвиге сигнала s2(t) влево на значение =1, при котором происходит полное совмещение сигналов s1(t) и s2(t+). При вычислении значений B₂₁(-) аналогичный процесс выполняется последовательным сдвигом сигнала s1(t) вправо по временной оси с постепенным увеличением отрицательных значений , а соответственно значения B₂₁(-) являются зеркальным (относительно оси t=0) отображением значений B₁₂(), и наоборот. На рис. 2.4.2 это можно видеть наглядно.

Рис. 2.4.2. Сигналы и ВКФ.

Таким образом, для вычисления полной формы ВКФ числовая ось  должна включать отрицательные значения, а изменение знака  в формуле (2.4.3) равносильно перестановке сигналов.

Для периодических сигналов понятие ВКФ обычно не применяется, за исключением сигналов с одинаковым периодом, например, сигналов входа и выхода систем при изучении характеристик систем.

Коэффициент взаимной корреляции двух сигналов вычисляется по формуле (по центрированным сигналам):

r_sv() = cos () = s(t), v(t+) /||s(t)|| ||v(t)||. (2.4.4)

Значение коэффициента взаимной корреляции может изменяться от -1 до 1.