Предел функции. Свойства пределов

Если при вычислении предела последовательности всегда , то, вычисляя предел функции , следует оговаривать, к чему стремится ее аргумент. Рассмотрим, в чем различие между пределами последовательности и функции . Если в последовательности возрастает, принимая только значения из множества натуральных чисел, то может возрастать, принимая любые вещественные значения. Пределы последовательности и функции в этом случае равны нулю.

В то же время имеет смысл рассмотреть предел . Стоящая под знаком предела функция увеличивается с приближением ее аргумента к нулю, оставаясь положительной, причем, при сколь угодно близких к нулю, ее значение становится все большим и большим. Ясно, что . Поскольку при рассматриваемая функция не существует, этот ее предел дает важнейшую информацию – показывает поведение функции в окрестности предельной точки. При подходе к этой точке она уходит в бесконечность.

Определение 1. Число называется пределом функции при , если для любой последовательности значений аргумента , стремящейся к , соответствующая ей функциональная последовательность сходится к .

В первой все ее члены больше a, и мы подходим к точке a справа, во второй все элементы меньше предельного значения аргумента, подходим к точке a слева, в третьей элементы последовательности расположены как слева, так и справа от предельного значения a. Соответствующие им функциональные последовательности во всех трех случаях стремятся к b. Если для любой другой последовательности , стремящиеся к a, последовательность также стремится к b, то предел функции равен этому числу, что видно из рисунка.

Приведенное определение предела функции в точке, связанное с рассмотрением числовых последовательностей, неудобно тем, что реально невозможно изучить все числовые последовательности, сходящиеся к числу . Поэтому для исследования существования предела пользуются вторым определением, равносильным первому.

Определение 2. Число называется пределом функции при , если .

Словесная формулировка приведенной фразы такова: число называется пределом функции при , если для любого положительного существует такое положительное , что для любого , для которого выполняется неравенство , выполняется неравенство .

Определение 2а. Число называется пределом функции при , если .

Доказана эквивалентность определений 1 и 2, то есть из 1 следует 2, и наоборот.

Определение 3. Число называется левым пределом функции при (пределом слева), если для любой последовательности значений аргумента , стремящейся к слева соответствующая ей функциональная последовательность сходится к . Обозначение .

Определение 4. Число называется правым пределом функции при (пределом справа), если для любой последовательности значений аргумента , стремящейся к справа соответствующая ей функциональная последовательность сходится к . Обозначение .

Пример. Вычислим . Поскольку , показатель степени отрицательный, следовательно, . Теперь показатель степени положительный и при стремится к , ясно, что левый предел этой функции при равен нулю. В то же время правый предел , так как показатель степени положителен и стремится к .

Очевидно, не существует, так как при подходе к предельному значению аргумента слева и справа получаем разные значения, и определение 1 не выполняется.