3. Динамика

Задача 1. В железнодорожных скальных выемках для защиты кюветов от попадания в них с откосов каменных осыпей устраивается «полка» DC. Учитывая возможность движения камня из наивысшей точки А откоса и полагая при этом его начальную скорость , определить наименьшую ширину полки b и скорость , с которой камень падает на нее. По участку АВ откоса, составляющему угол α с горизонтом и имеющему длину l, камень движется τ с. Коэффициент трения скольжения f камня на участке АВ считать постоянным, а сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано: . Определить b и (рис. 10.3).

Рис. 10.3

Решение. Задачу разделим на два этапа. Первый – движение камня на участке АВ, второй – движение камня от точки В до С.

Первый этап. 1. Составление расчетной схемы. Ось проводим по направлению движения камня, ось - перпендикулярно к оси . Камень принимаем за материальную точку и показываем ее в текущем положении, изображаем действующие на камень (точку) силы: вес , нормальную реакцию и силу трения скольжения (рис. 10.4).

2.Выявление начальных условий.

При .

Рис. 10.4

3.Составление дифференциальных уравнений движения точки. Так как точка (камень) движется прямолинейно, то при направлении оси х вдоль траектории получим одно дифференциальное уравнение движения

;

сила трения

,

тогда

;

;

.

4.Интегрирование дифференциальных уравнений движения. Интегрируя дифференциальное уравнение дважды, получаем:

;

;

;

;

;

;

.

5.Определение постоянных интегрирования. Подставим начальные условия, т.е. в уравнения:

;

;

.

6.Нахождение неизвестных величин и исследование полученных результатов. После подстановки постоянных интегрирования С₁ и С₂ получаем уравнение скорости и уравнение движения:

;

.

Для момента времени τ, когда камень покидает участок АВ,

,

т.е.

;

.

Умножим первое уравнение на τ/2, после этого разделим его на второе. В результате получим:

; ;

.

Второй этап. Движение камня от точки В до точки С.

1.Составление расчетной схемы. Координатные оси покажем так, как это удобно для решения задачи, в нашем случае ось х параллельна горизонтали и проходит через точку В, ось у направляем вниз через точку В. Камень принимаем за материальную точку, показываем ее в текущем положении, изображаем действующую на камень силу тяжести (рис. 10.4).

2. Выявление начальных условий движения. При :

.

3.Составление дифференциальных уравнений движения. Так как движение точки происходит в плоскости ху, то число уравнений движения равно двум:

.

4.Интегрирование дифференциальных уравнений движения. Интегрируем дифференциальные уравнения дважды:

(a)

; (б)

(в)

. (г)

5. Определение постоянных интегрирования. Подставляем начальные условия: в уравнения (а – г):

,

откуда

.

6.Нахождение искомых величин и исследование полученных результатов. После подстановки постоянных интегрирования в уравнения (а –г) получаем следующие уравнения проекций скорости камня:

и уравнения его движения

.

Уравнение траектории камня найдем, исключив параметр t из уравнений движения:

;

– уравнение параболы.

В момент падения . Определим d из уравнения траектории:

; ;

.

Так как траекторией движения камня является ветвь параболы с положительными абсциссами ее точек, то d=2,11 м.

Минимальная ширина полки

.

Используя уравнение движения камня , найдем время Т движения камня от точки В до точки С

.

Скорость камня при падении найдем через проекции скорости на оси координат:

по формуле

.

Для момента падения t=T=0,53 c

.

Скорость камня при падении равна 12,8 м/с.

Задача 2.Груз массой т = 100 кг, подвешенный на невесомом тросе длиной l = 3 м, в результате толчка стал двигать­ся, как конический маятник, причем трос отклонен от вертикали на угол α = 60° (рис. 50). Определить скорость груза v и силу натяжения троса R.

Рис. 50

Решение. Рассматривая груз как материальную точ­ку, применим для описания его движения дифференциаль­ные уравнения в проекциях на естественные оси: каса­тельную τ, нормаль п, би­нормаль b (рис. 50).

На груз действуют две силы: сила тяжести G и реак­ция троса R.

Уравнения движения принимают вид

Из первого уравнения следует, что v = const, то есть груз движется равномерно. Из третьего уравнения нахо­дим силу натяжения троса (учитывая G = mg)

.

Сила натяжения вдвое больше веса груза.

Из второго уравнения определим скорость груза, учи­тывая, что радиус кривизны его траектории (окружности в горизонтальной плоскости) .

Тогда

Ответ: v = 6,6 м/с; R = 2 кН.

Задача 3. Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя. Учитывая трение скольжения тела 3, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость и ускорение тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным s (рис. 3.70). В задаче принять:

Решение. На механическую систему действуют активные силы , , . Применяя принцип освобождения от связей системы, покажем реакции шарнирно-неподвижной опоры 2 и шероховатой наклонной поверхности. Направления скоростей тел системы изобразим с учетом того, что тело 1 спускается.

Задачу решим, применяя теорему об изменении кинетической энергии механической системы:

,

где Т и – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях; - алгебраическая сумма работ внешних сил, приложенных к системе, на перемещении системы из начального положения в конечное; - сумма работ внутренних сил системы на том же перемещении.

Для рассматриваемой системы, состоящей из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями,

.

Так как в начальном положении система покоилась, то . Следовательно,

.

а)

б)

Кинетическая энергия системы представляет собой сумму кинетических энергий тел 1, 2, 3

.

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно, равна:

.

Кинетическая энергия блока 2, совершающего вращение вокруг оси Оz, перпендикулярной плоскости чертежа,

.

Кинетическая энергия тела 3 в его поступательном движении

.

Таким образом,

.

Выражение кинетической энергии содержит неизвестные скорости всех тел системы. Начать определение необходимо с . Избавимся от лишних неизвестных, составив уравнения связей.

Уравнения связей это не что иное, как кинематические соотношения между скоростями и перемещениями точек системы. При составлении уравнений связей выразим все неизвестные скорости и перемещения тел системы через скорость и перемещение груза 1.

Скорость любой точки обода малого радиуса равна скорости тела 1, а также произведению угловой скорости тела 2 и радиуса вращения r

.

Отсюда выразим угловую скорость тела 2

. (а)

Вращательная скорость любой точки обода блока большого радиуса , с одной стороны, равна произведению угловой скорости блока и радиуса вращения, а с другой – скорости тела 3

.

Подставив значение угловой скорости, получим:

. (б)

Проинтегрировав при начальных условиях выражения (а) и (б), запишем соотношение перемещений точек системы:

. (в)

Зная основные зависимости скоростей точек системы, вернемся к выражению кинетической энергии и подставим в него уравнения (а) и (б):

.

Момент инерции тела 2 равен:

.

Подставляя значения масс тел и момента инерции тела 2, запишем

.

Определение суммы работ всех внешних сил системы на заданном перемещении.

.

Работа силы тяжести тела 1

.

Работа сил равна нулю, так как эти силы приложены к неподвижной точке.

.

Работа силы тяжести тела 3

.

Работа нормальной реакции тела 3 равна нулю, так как сила перпендикулярна направлению движения

.

Работа силы трения скольжения

,

так как

,

тогда

.

Сумма работ внешних сил

.

Подставляя значения масс тел, соотношения перемещений (в) и числовые параметры, запишем:

Теперь согласно теореме об изменении кинетической энергии механической системы приравняем значения Т и

. (г)

Скорость тела 1 получим из выражения (г)

.

Ускорение тела 1 можно определить, продифференцировав по времени равенство (г):

,

где .

Тогда

.

Задача 4.Грузоподъемная установка (рис. 59) состоит из бараба­на с осевым моментом инерции J = 4 кгм² и радиусом r = 20 см, невесомого и нерастяжимого троса и груза мас­сой т = 103 кг, перемещающегося по наклонной плоско­сти, составляющей угол α = 30° с горизонтом, с коэффи­циентом трения f = 0,2. Определить величину вращающе­го момента М, который необходимо приложить к барабану, чтобы его угловое ускорение было равно ε = 5 с^–2.

Рис. 59 Рис. 60

Решение. Поскольку рассматривается мгновенное со­стояние системы, то следует применить теорему об изме­нении кинетической энергии в дифференциальной форме

.

При условии, что трос нерастяжим и отсутствует про­скальзывание троса относительно барабана, система явля­ется неизменяемой (внутренние силы не работают), и тог­да производная от кинетической энергии будет опреде­ляться только мощностями внешних сил:

.

Кинетическая энергия системы (поступательно движу­щийся груз и вращающийся барабан, рис. 60)

.

Кинематическая связь, наложенная на скорость груза и угловую скорость барабана, определяется условиями нерастяжимости троса и отсутствием проскальзывания троса относительно барабана: v = ωr. Тогда

.

Выражение в скобках называется приведенным (к ба­рабану) моментом инерции: кгм².

Итак, кинетическая энергия системы

,

а производная от нее по времени

.

дает левую часть записи теоремы.

Рассмотрим действующие в системе внешние силы и их мощности. Сила тяжести барабана G₁ и составляющие реакции на его оси Х₀ и Y₀ будут иметь нулевую мощ­ность (так как равна нулю скорость точки их приложе­ния — точки О). Также равна нулю мощность нормальной реакции груза R,,, поскольку она перпендикулярна ско­рости груза.

Ненулевую мощность будут иметь только сила тяже­сти груза G, сила трения F_mp и вращающий момент М:

;

Тогда (с учетом кинематической связи) сумма мощно­стей запишется в виде

.

Выражение в квадратных скобках называется приве­денным (к барабану) вращающим моментом: , и тогда правая часть записи теоремы имеет вид .

Приравнивая правую и левую части теоремы, получа­ем , отсюда после сокращения находим тре­буемый приведенный вращающий момент

Нм.

Теперь можно найти необходимый вращающий момент: . Учитывая, что , находим .

Ответ: М = 15,4 кНм.

33