2.Кинематика

Задача 1.Заданы уравнения движения точки М:

где х,у- координаты движущейся точки, см.

Установить вид траектории точки и для момента времени t=1 с найти положение точки на траектории, её скорость, полное, ка­сательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны тра­ектории.

Решение.

1. Преобразуем параметрические уравнения движения точки:

Получено уравнение окружности с центром в точке с коорди­натами х=-2 см; у = 3 см и радиусом R = 2 см. После определе­ния траектории имеется возможность изобразить её в декартовой системе координат (рис. 11.16) и установить положение точки М момент времени t = 1 с:

Если положение точки окажется вне траектории, следует пре­кратить дальнейшие расчёты и найти ошибку в предыдущих рас­чётах.

2. Найдём проекции скорости на оси координат:

В момент времени t = 1 с V_x= -3,628 см/с; V_y = -2,094 см/с.

3. Определим модуль скорости: В момент вре­мени t= lc V=4,189 см/с. Покажем на рис. 11.16 в масштабе составляющие скорости , и вектор скорости , который должен быть направлен по касательной к траектории. Если это не произошло, в расчётах допущена ошибка.

4. Найдём проекции ускорения на оси координат, учитывая, что и - сложные функции:

В момент времени t = 1 с a_x= -8,014 см/с²; a_y =- 5,503 см/с².

5. Определим модуль ускорения: В момент вре­мени t = 1с

а = 9,721 см/с².

Покажем на рис. 11.16 в масштабе составляющие ускорения а_х, а_у и вектор ускорения _n, который должен быть направлен в сторону вогнутости траектории.

3. Вычислим касательное ускорение по формуле (11.28):

Положительный знак показывает, что движение точки М уско­ренное, то есть направления векторов скорости и касательного ускорения совпадают.

3. Определим нормальное ускорение:

Покажем на рисунке векторы _τ и _n,.

8.Определим радиус кривизны траектории:

Для окружности радиус кривизны траектории совпадает с ра­диусом окружности: ρ= R = 2 см. Результаты расчётов сведём в табл. 11.1.

Таблица 11.1

Задача 2.Точка М движется на плоскости по окружности ради­уса R = 10 см согласно уравнению

.

Найти положение точки на траектории, а также скорость и ускорение точки в момент времени t = 7 с.

Решение. При задании движения точки естествен­ным способом должны быть известны ее траектория, нача­ло отсчета, положительное направление дуговой координа­ты, а также уравнение движения точки по траектории s(t).

Рис. 34

Выберем в качестве начала от­счета верхнюю точку окружности и положительное направление — по часовой стрелке.

При t = 7 с положение точки М на траектории (рис. 34) определяется величиной дуговой координаты

что соответствует углу

При естественном способе задания движения точки ее скорость определяется выражением , где — про­екция скорости на касательную, которая равна производ­ной по времени от дуговой координаты

При t = 7 с получаем см/с, и модуль скоро­сти равен v = 7,12 см/с.

Знак «минус» у величины означает, что точка дви­жется в сторону убывания дуговой координаты s(t), то есть в сторону ее отрицательных значений.

Ускорение точки является векторной суммой двух его составляющих: где — касательное ускоре­ние, — нормальное ускорение.

Направление вектора определяется знаком величи­ны , вектор всегда направлен перпендикулярно ка­сательной внутрь траектории. Проекция ускорения точки на касательную равна .

При t = 7 с получаем = 2,15 см/с².

Знаки и различны, поэтому движение точки по траектории в данный момент времени является замед­ленным.

Модуль нормального ускорения равен

.

Модуль полного ускорения точки:

.

Векторы показаны на рис. 34.

Ответ: v = 7,12 см/с; а = 5,51 см/с².

Задача 3. Груз 1 (рис. 12.10), опускаясь, согласно уравнению s = 3 +15, где s - расстояние груза от места схода нити с поверхности вала в сантиметрах; t - время в секундах, приводит в движение колесо 2, ременную передачу, колесо 3 и рейку 4.

Пренебрегая скольжением ремня по ободам колес, определить для момента времени =1 с скорость и ускорение рейки 4, угловые скорости и ускорения колёс 2, 3 и ускорение точки А, если =30 см; =50 см - радиусы ступеней колеса 2; =40 см; =60 см - радиусы ступеней колеса 3.

Дано: ; =30 см; =50 см; =60 см.

Определить: при с.

1. Найдём , . Зная уравнение движения груза 1, определим его скорость как функцию времени = = 9 . Груз подвешен на нерастяжимом канате, поэтому скорость груза 1 такая же, как скорости точек на ободе колеса 2 радиуса , т.е. . Найдем как функцию времени:

. (а)

Так как колёса 2 и 3 связаны ременной передачей (ремень нерастяжим), то , но ; .

,

поэтому

. (б)

При =1 с из (а) и (б) найдем = 0,3 рад/с; =-,25 рад/c.

2. Определим . Так как = , то при =1 с имеем =10 см/c.

3. Найдем . Продифференцируем по времени выражения (а), (б):

; . При =1с =0,5 рад/ .

4. Найдем . Рейка 4 движется поступательно, поэтому все её точки имеют одинаковые ускорения. Точка D одновременно принадлежит рейке 4 и ободу колеса 3 радиуса , поэтому ; при =1с и =20 см/

5. Найдем ускорение точки А, используя формулу ; .

При =1с и =30 см/ ; =4,5 см/ ;

см/ .

Задача 4.Маховик радиусом R = 0,5 м вращается так, что его угловая скорость меняется в соответствии с уравнением . Для момента времени t = 0,5 с после нача­ла движения определить скорость и ускорение точки на ободе маховика. Установить, за какое время маховик сде­лает 100 полных оборотов.

Рис. 36

Решение. Для момента времени t = 0,5 с получаем ω = 0,680 с^–1, и скорость точки на ободе маховика равна v = ωR = 0,340 м/с.

Угловое ускорение маховика

.

Ускорение точки на ободе маховика равно сумме двух составляющих ускорений: , где и — каса­тельное (вращательное) и нормальное (центростремитель­ное) ускорения точки.

Учитывая, что вращательное ускорение равно по мо­дулю , найдем = 0,680 м/с²; центростремительное ускорение . Модуль полного ускорения точки

м/с.

Направления скорости и ускорений по­казаны на рис. 36.

Поскольку значения величин угловой скорости и углового ускорения имеют одинаковые знаки, вращение тела уско­ренное. Соответственно, совпадают по направлению угловая скорость и угловое ускорение тела, а также скорость точки и вращательное ускорение.

Поворот маховика на 100 полных оборотов соответ­ствует углу его поворота φ = 200π рад. Выражение для угла поворота найдем из уравнения .

Имеем

.

Итак, , откуда находим t = 2,19 с.

Ответ: v = 0,340 м/с; а = 0,718 м/с²; t = 2,19 с.