Векторное произведение векторов

Определение. Векторным произведением   неколлинеарных векторов  , взятых в данном порядке, называется ВЕКТОР  , длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на данных векторах; вектор   ортогонален векторам   , и направлен так, что базис   имеет правую ориентацию:

Векторы   взяты в строго определённом порядке:   

Результатом умножения векторов является ВЕКТОР 

если  , то  .

Диагональ параллелограмма (красный пунктир) делит его на два равных треугольника. Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах   (красная штриховка), можно найти по формуле:

Пример

Найти площадь треугольника, построенного на векторах  , если 

Ответ: 

Векторное произведение векторов в координатах

Векторное произведение векторов  , заданных в ортонормированном базисе  , выражается формулой:

Пример

Даны вершины треугольника  . Найти его площадь.

Решение: Найдём векторы:

Затем векторное произведение:

Вычислим его длину:

Ответ: 

Смешанное произведение векторов

Смешанное произведение векторов – это произведение трёх векторов:

Определение: Смешанным произведением   некомпланарных векторов  ,взятых в данном порядке, называется объём параллелепипеда, построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базис   правый, и знаком «–», если базис   левый.

Выполним рисунок.

Смешанное произведение векторов является ЧИСЛОМ.

Смысл заключительной части состоит в том, что к объёму   может добавляться знак минус. 

В курсе аналитической геометрии доказано, что объём тетраэдра (на рисунке отсечён «синей» плоскостью) равен одной шестой объёма параллелепипеда:

В теории и практике тетраэдр часто называют треугольной пирамидой, поскольку все грани тетраэдра – треугольники.

Смешанное произведение векторов  , заданных в ортонормированном базисе   правой ориентации, выражается формулой:

Пример

Вычислить объём треугольной пирамиды, если даны её вершины  

Решение: Сначала найдём векторы:

Вычислим смешанное произведение: (Определитель раскрыт по первой строке)

Вычислим объём треугольной пирамиды  :

Ответ: 

20