
- •Практикум по аналитической геометрии
- •Тема 4. Понятие вектора. Действия с векторами. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Понятие вектора
- •Координаты вектора на плоскости и в пространстве
- •Простейшие задачи Как найти вектор по двум точкам?
- •Как найти длину отрезка?
- •Действия с векторами в координатах
- •Скалярное произведение векторов
- •Угол между векторами и значение скалярного произведения
- •Скалярный квадрат вектора Что будет, если вектор умножить на самого себя?
- •Угол между векторами
- •Скалярное произведение векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе
- •Проверка векторов на ортогональность с помощью скалярного произведения
- •Формула косинуса угла между векторами, которые заданы координатами
- •Проекция вектора на вектор
- •Проекция вектора на координатные оси. Направляющие косинусы вектора
- •Векторное произведение векторов
- •Векторное произведение векторов в координатах
- •Смешанное произведение векторов
Угол между векторами
Если известны длины двух векторов и их скалярное произведение, то можно вычислить косинус угла между данными векторами, а, следовательно, и сам угол.
.
Пример
Найти
угол между векторами
и
,
если известно, что
.
Решение: Используем
формулу:
На
заключительном этапе вычислений
использован технический приём –
устранение иррациональности в знаменателе.
В целях устранения иррациональности я
домножил числитель и знаменатель на
.
Итак,
если
,
то:
Ответ:
Не забываем указывать размерность – радианы и градусы.
Пример
Даны
–
длины векторов
,
и
угол между ними
.
Найти угол между векторами
,
.
Алгоритм решения:
1)
По условию требуется найти угол между
векторами
и
,
поэтому нужно использовать формулу
.
2)
Находим скалярное произведение
.
3) Находим длину вектора и длину вектора .
4)
Нам известно число
,
а значит, легко найти и сам угол:
Сделайте самостоятельно и сравните с решением.
Решение:
Найдём скалярное произведение:
Найдём
длину вектора
:
Найдём
длину вектора
:
Таким
образом:
Ответ:
Скалярное произведение векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе
В данном разделе рассматриваются только ортонормированные базисы плоскости и пространства.
Скалярное
произведение векторов
и
,
заданных в ортонормированном
базисе
, выражается
формулой
Скалярное
произведение векторов
,
заданных в ортонормированном
базисе
, выражается
формулой
То есть, скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат векторов.
Пример
Найти
скалярное произведение
векторов:
а)
и
б)
и
,
если даны точки
Решение:
а)
Здесь даны векторы плоскости. По
формуле
:
б)
Сначала найдём векторы:
По
формуле
вычислим
скалярное произведение:
Ответ:
Проверка векторов на ортогональность с помощью скалярного произведения
Векторы
и
ортогональны
тогда и только тогда, когда
.
В координатах данный факт запишется
следующим образом:
(для
векторов плоскости);
(для
векторов пространства).
Пример
а)
Проверить ортогональность векторов:
и
б)
Выяснить, будут ли перпендикулярными
отрезки
и
,
если
Решение:
а)
Вычислим их скалярное произведение:
,
следовательно,
б)
Найдём векторы:
Вычислим
их скалярное произведение:
,
значит, отрезки
и
не
перпендикулярны.
Ответ: а)
,
б) отрезки
не
перпендикулярны.
Формула косинуса угла между векторами, которые заданы координатами
Косинус
угла между векторами плоскости
и
,
заданными в ортонормированном
базисе
, выражается
формулой:
.
Косинус
угла между векторами пространства
,
заданными в ортонормированном
базисе
, выражается
формулой:
Пример
Даны
три вершины треугольника
.
Найти
(угол
при вершине
).
Решение:
Требуемый
угол
помечен
дугой. Угол
треугольника
совпадает с углом между векторами
и
,
иными словами:
.
Найдём
векторы:
Вычислим
скалярное произведение:
И
длины векторов:
Косинус
угла:
Найдём
сам угол:
Ответ: