§8. Обратная задача для уравнения теплопроводности.

Пусть - коэффициент теплопроводности,

- температура в точке z в момент времени t.

Тогда процесс распространения тепла на отрезке описывается уравнением

В прямой задаче надо найти по известной функции .

Для единственности решения прямой задачи необходимо задать начальные условия

и по одному условию на каждой из границ, например, поток

Если данные прямой задачи (1)-(4) достаточно гладкие и , то решение прямой задачи существует и единственно.

Обратная задача. Пусть о решении прямой задачи (1)-(4) известна дополнительная информация

Требуется определить один из коэффициентов уравнения (1) (или какую-либо их комбинацию) из соотношений (1)-(5).

Численное решение обратной задачи (1)-(5) будем искать при , минимизируя целевой функционал

Зададим начальное приближение .

Приближение будем вычислять методом простой итерации

Здесь - достаточно малое число, - градиент функционала .

Обратная задача 1: найти коэффициент из соотношений:

Найдем приращение функционала (6):

Здесь . является решением следующей задачи

Решение сопряженной задачи.

Восстановление кусочно-постоянной среды в обратной задаче.

Рассмотрим сопряженную задачу:

Умножим обе части равенства (12) на функцию и проинтегрируем по области :

Проинтегрируем по частям выражение

Имеем

Тогда учитывая условия (13)-(15) и (17)-(19), получим, что

Последние два слагаемых в правой части равенства (21) имеют второй порядок малости. Тогда получаем следующий градиент функционала

Здесь - решение сопряженной задачи.

Восстановление кусочно-постоянной среды

Предположим, что искомая функция q(x) кусочно-постоянна

В этом случае градиент функционала J(q) записывается в виде:

Решение обратной задачи, т.е. вектор ищем методом простой итерации

Алгоритм метода

1. Пусть приближение известно.

2. Решаем прямую задачу

3. Решаем сопряженную задачу

5. Находим значение градиента функционала

7. Находим следующее приближение .

Численное решение обратной задачи для уравнения теплопроводности.

Алгоритм и блок-схема численной реализации.

Численная реализация

Введем в области равномерную сетку по времени и пространству с шагами , . Индексы узлов: , .

Решаем прямую задачу (17)-(20) конечно-разностным методом.

При аппроксимации воспользуемся неявными схемами для уравнения теплопроводности. Уравнения на каждом шаге решаются методом прогонки.

Разностная схема для прямой задачи (24)-(27):

Разностная схема для сопряженной задачи (28)-(31):

Выражение для градиента в случае кусочно-постоянного коэффициента:

Здесь - индекс точки разрыва коэффициента.

Связь между уравнениями

Рассмотрим, как от уравнения одного вида можно перейти к уравнению другого вида. Пусть

Предположим, что коэффициент имеет вид . Тогда подставив в уравнение (40), перейдем к следующему уравнению

.

Сделаем замену переменной в (41)

и введем новые функции

.

Тогда получим следующее уравнение

.

Если ввести новые функции

,

тогда от уравнения (42) перейдем к уравнению

.