III. Элементы теории поля

1. Понятие поля

Если с каждой точкой связано определенное значение величины U, то говорят, что в области G задано поле величины U.

Поле называется скалярным, если U – скаляр (температура, плотность, электрический потенциал и др.) и векторным, если U – вектор (сила, скорость, напряженность и др.)

Поле называется стационарным (установившимся, если оно не меняется с течением времени).

Поле не зависит от системы координат, введенной в области G. Рассмотрим прямоугольную систему координат, тогда задание скалярного поля равносильно заданию в области G скалярной функции U=f(x,y,z) или U=f(x,y), если G – область в плоскости хОу. Задание векторного поля равносильно заданию в каждой точке векторной функции

Свойства скалярного поля, его линий уровня, производной по направлению и градиента рассматривались в разделе «дифференциальное исчисление функций нескольких переменных».

В этом разделе рассмотрим свойства стационарного векторного поля. В дальнейшем функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) и их производные считаем непрерывными в области Q.

2. Векторные линии

Векторной линией векторного поля называют линию, в каждой точке М которой вектор направлен по касательной к линии.

Мы не рассматриваем как найти векторные линии.

Если и в каждой точке поля функции P, Q, R одновременно не обращаются в нуль и непрерывны вместе со всеми своими частными производными первого порядка, то через каждую точку поля проходит единственная векторная линия, т.е. вся область G заполнена векторными линиями. По виду векторных линий получают информацию о структуре поля. Если - стационарное поле текущей жидкости, то векторные линии являются траекториями частиц жидкости и называются линиями тока. Если - вектор силы, то векторные линии называются силовыми линиями и т. д. Множество всех векторных линий, проходящих через точки поверхности σ, образует векторную трубку.

3. Работа силового поля. Криволинейный интеграл второго рода. Циркуляция вектора вдоль замкнутого контура

Пусть в каждой точке плоскости хОу (или области D) определен вектор силы образующий векторное поле. И пусть материальная точка (m=1) перемещается в этом поле по гладкой кривой L из начала в конец дуги L. При перемещении материальной точки сила производит работу А.

Возьмем на дуге L произвольную точку М. При бесконечно малом перемещении из точки M по дуге кривой силу можно считать постоянной и равной , поэтому соответствующая элементарная работа равна скалярному произведению . Суммируя элементарные работы, получаем общую работу, производимую силой , когда материальная точка проходит путь L

. (18)

Полученный интеграл от векторной функции по кривой L называется криволинейным интегралом второго рода или криволинейным интегралом по координатам. Чтобы вычислить интеграл, должны быть заданы поле , уравнение дуги кривой L и указано направление движения по кривой L (начало и конец пути). Для вычисления интеграла все переменные и дифференциалы в подынтегральном выражении заменяют из уравнения кривой через одну переменную и ее дифференциал. Находят интервал изменения выбранной переменной на дуге L и вычисляют полученный определенный интеграл.

Если L задана параметрически и t изменяется от α до β

(α соответствует началу пути интегрирования, β – концу), то

. (18а)

Если L – график функции y=f(x) и x изменяется от а до b, то

. (18б)

При изменении направления движения по L интеграл изменяет только знак (другие свойства интеграла в разделе I). Если поле и L заданы в трехмерном пространстве, получим

, (19)

который вычисляется по тому же правилу.

Если - произвольное векторное поле, а L – замкнутый контур, то интеграл

(20)

называется циркуляцией векторного поля (или циркуляцией вектора ) вдоль замкнутого контура L.

Циркуляция вектора величина скалярная, положительная (направление L близко к направлению замкнутой векторной линии), отрицательная или равная нулю.