Системы счисления

Под системой счисления понимается способ представления любого числа с помощью некоторого алфавита символов, называемых цифрами. Системы счисления бывают позиционными и непозиционными.

В позиционных системах счисления значимость каждой цифры числа зависит от позиции, которую она занимает. Основанием системы может быть любое число, большее единицы. К числу таких систем относится традиционная десятичная система счисления (с основанием n = 10):

345 = 310²+ 410¹+ 510⁰.

Несмотря на кажущуюся естественность такой системы счисления, она явилась результатом длительного исторического развития. Возникновение десятичной системы счисления связано со счетом на пальцах. Имелись системы счисления и с другим основанием: 5, 12 (счет дюжинами), 20 (например, 80 по-французски – quatre-vingts, то есть «четыре-двадцать»), 40 и др.

Кроме десятичной системы широкое распространение получили позиционные системы счисления с основаниями 2, 8, 16, 60.

Из непозиционных систем самой распространенной является римская:

XX = X + X = 20,

III = I + I + I = 3,

IV = V  I = 4 и т. д.

В алфавитных системах счисления числа от 1 до 9, а также все десятки и сотни обозначаются буквами алфавита (над которыми обычно ставятся черточки, чтобы отличить записи чисел от слов). В качестве примера можно привести славянские цифры, цифры древнерусского счета, в котором каждое из целых чисел от 1 до 9, а также десятки и сотни обозначались буквами славянского алфавита с надписанным над ними знаком ~ (тильда или титло). Например:

где = 300, = 20, = 4

Электронные блоки компьютера могут обрабатывать информацию, представленную только в цифровой форме, причем обычно компьютеры работают в двоичной системе счисления. Основание системы: т = 2. Используемые символы: 1 и 0.

С точки зрения электроники значение единицы может быть представлено наличием напряжения, потенциала или тока, а ноль – отсутствием их.

Рассмотрим представление чисел в двоичной системе.

Веса знако­мест: 2⁰ = 1, 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, 2⁵ = 32, 2⁶ = 64, 2⁷ = 128, 2⁸ = 256, 2¹⁰ = 1024 и т. д.

Перевод числа из десятичной системы в двоичную

Рассмотрим алгоритм перевода числа из десятичной системы в двоичную. Целое десятичное число делится нацело на основание 2, затем на 2 делятся последовательно все частные от целочисленного деления, до тех пор пока частное не станет меньше основания. В результат заносится последнее частное и все остатки от деления, начиная с последнего:

115:2 = 57, остаток 115  572 = 1

57:2 = 28, остаток 57  282 = 1

28:2 = 14, остаток 28  142 = 0

14:2 = 7, остаток 14  72 = 0

7:2 = 3, остаток 7  32 = 1

3:2 = 1, остаток 312 = 1

1

115₁₀= 1110011₂ .

Перевод числа из двоичной системы в десятичную

Осуществляется путем вычисления суммы произведений цифры двоичного числа на вес ее места в двоичном числе:

1110011₂ = 12⁰ + 12¹ + 02² + 02³ + 12⁴ + 12⁵ + 12⁶ = 1 + 2 + 16 + 32 + 64 = 115₁₀.