Глухов Ю.П. Конспект лекций по высшей математике. Лекция № 36 8

Лекция 36 тема: Дифференциальные уравнения. Однородные уравнения

План.

1. Однородные уравнения.

2. Подстановка Бернулли.

3. Метод Лагранжа

4. Уравнение в полных дифференциалах

5. Особые точки и особые решения.

1. Однородные уравнения

Определение. Функция f(x,y) называется однородной функцией n-порядка относительно переменных x и y, если при любом t выполняется тождество

Пример. -однородная функция первого порядка, т.к.

Пример. -однородная функция второго порядка, т.к.

Пример. -однородная функция нулевого порядка, т.к.

К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся и так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка, имеющие вид:

. (31.1)

Действительно, замена или y = xt приводит к

Еще одной формой однородного уравнения является уравнение

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0, (31.2)

если М(х,у) и N(x,y) – однородные функции одинаковой степени однородности. При этом .

Пример

y² + x²y′ = xyy′.

Решение.

Преобразуем уравнение к виду (31.1): y′(xy – x²) = y², ,

. После замены y = xt получим:

, t – ln | t | = ln | x | + ln |C| , , .

В однородные можно преобразовать и уравнения вида

(31.3)

с помощью замены Х = х – х₁ , Y = y – y₁ , где х₁ , у₁ – решение системы уравнений

a₁x + b₁y + c₁ = 0, a₂x + b₂y + c₂ = 0.

(C геометрической точки зрения производится перенос начала координат в точку пересечения прямых a₁x + b₁y + c₁ = 0 и a₂x + b₂y + c₂ = 0). Тогда, поскольку , в новых переменных уравнение примет вид:

или - однородное уравнение.

Пример

(у + 2) dx = (2x + y – 4)dy.

Решение.

Запишем уравнение в виде . Решением системы у + 2 = 0, 2х + у ­– 4 = 0 будут х₁ = 3, у₁ = -2. В новых переменных Х = х – 3,

Y = y + 2 получим однородное уравнение , которое можно решить с помощью обычной замены Y = Xt. Тогда , ,

, и после обратной замены общий интеграл выглядит так: . Заметим, в это общее решение входит при С=0 и частное решение у = 1 – х, которое могло быть потеряно при делении на у + х –1.

Линейные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

, (32.1)

линейное относительно неизвестной функции у(х) и ее производной. При этом будем предполагать, что р(х) и f(x) непрерывны.

В случае, когда f(x) ≡ 0, уравнение (32.1) называется однородным. Такое уравнение является уравнением с разделяющимися переменными:

, откуда . (32.2)

При делении на у могло быть потеряно решение у = 0, но оно входит в общее решение при С = 0.