1 Непрерывность функции в точке
Непрерывность – важное свойство, которым одни функции обладают, а другие нет. Наглядно график всякой непрерывной функции представляет линию без «разрывов», так сказать «сплошную» линию.
Например,
график функции
(рис.1)
Рис.1
Пусть
функция
определена
в точке
и
в некоторой окрестности этой точки.
Функция
называется непрерывной
в точке
,
если существует предел функции в этой
точке и он равен значению функции в этой
точке, т.е.
(1)
Равенство (1) означает выполнение трех условий:
1
Функция
определена в точке
и
в её окрестности
2
Функция
имеет предел при
3 Предел функции в точке равен значению функции в этой точке, т.е. выполняется равенство (1)
Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опираясь на приращение аргумента и функции.
Пусть
функция
определена
в некотором интервале
.
Возьмем произвольную точку
Для любого
разность
.
называется приращением аргумента х
и точке
и обозначается
(«дельта х»):
.
Отсюда
.Р
азность
соответствующих
значений функции
называется
приращением функции
в точке
и обозначается
:
или
(рис.
2)
Рассмотрим равенство (1):
,т.к.
,
отсюда
имеем:
=0.
Разность пределов функций равна пределу
разности, тогда
.
Полученное равенство:
(2)
Является еще одним определением непрерывности функции в точке.
Функция называется непрерывной в точке ,если она определена в точке и её окрестности и , т.е. если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
2 Непрерывность функции в интервале и на отрезке
Функция называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция
называется непрерывной
на отрезке
,
если она непрерывна в интервале
и в точке
непрерывна
справа (т.е.
),
а в точке
непрерывна слева (т.е.
).
3 Точки разрыва функции и их классификация
Точка называется точкой разрыва функции , если эта функция определена в некоторой окрестности точки , но в самой точке нарушаются условия непрерывности.
В зависимости от того какое из условий непрерывности нарушается, точки разрыва разделяются на точки разрыва первого (I) и второго (II) рода.
Точка
разрыва
называется точкой разрыва
I
рода, если
в этой точке существуют конечные
пределы слева и справа (односторонние
пределы), т.е.
и
.
При этом:
-
если
,
то точка
называется
точкой
устранимого разрыва;
-
если
,
то точка
называется
точкой
конечного разрыва или
точкой «скачка».
Величину
называют скачком
функции в точке разрыва первого рода.
Точка разрыва называется точкой разрыва II рода функции ,если по крайней мере один из односторонних пределов( слева или справа) не существует или равен бесконечности.
4 Графическая интерпретация точек разрывов
4.1 Точка разрыва первого рода, устранимый разрыв
Рис.3
4.2 Точка разрыва первого рода, точка «скачка» (неустранимый разрыв)
Рис.4
4.3 Разрыв второго рода
Рис.5
Рис.6
Рис.7