4.2. Витрата. Рівняння витрати.
Витратою називається кількість рідини, що протікає через живий переріз потоку (струминки) за одиницю часу.
Цю кількість можна виміряти в одиницях об’єму, у вагових одиницях та одиницях маси, у зв’язку з чим розрізняють об’ємну Q, вагову QG та масову Qm витрату.
Для елементарної струминки, що має нескінченно малі розміри перетинів, дійсну швидкість v можна вважати однаковою для всіх точок кожного перетину. Як наслідок, для цієї струминки об’ємна (м3/с), вагова (Н/с) та масова (кг/с) витрата: dQ=vdS, dQG=ρgdQ, dQm=ρdQ=ρvdS, де dS – площа перетину струминки.
Для потоку кінцевих розмірів
в загальному випадку швидкість має
різне значення в різних точках перетину,
тому треба визначати як суму елементарних
витрат струминок:
Зазвичай розглядають середню по перетину швидкість: vcp=Q/S, звідси Q=vcpS.
Спираючись на закон збереження речовини, на припущення про суцільність течії та на властивість трубки струму, що полягає в її “непроникливості”, для сталої течії нестисливої рідини можна стверджувати, що об’ємна витрата у всіх перетинах елементарної струминки є однаковою: dQ=v1dS1=v2dS2=const (уздовж струминки)
Це рівняння називають рівнянням об’ємної витрати для елементарної струминки.
Аналогічне рівняння можна скласти й для потоку кінцевих розмірів, обмеженого непроникливими стінками, тільки замість дійсних швидкостей слід ввести середні швидкості: Q=vcp1S1=vcp2S2=const (уздовж потоку).
З останнього рівняння отримуємо, що середні швидкості в потоці нестисливої рідини обернено пропорційні площам перетинів: vcp1/vcp2=S2/S1.
4.3. Диференційні рівняння руху ідеальної рідини
Рух ідеальної рідини характеризується відсутністю в ній сил внутрішнього тертя, що викликає появу дотичних напружин. Тому сили гідродинамічного тиску в потоці такої рідини, як і у випадку спокою рідини, мають тільки нормальну складову. Це дозволяє при виведенні диференційних рівнянь руху скористатися отриманими раніше диференційними рівняннями гідростатики:
(*)
Підкреслимо, що розглядаємо нестисливу та однорідну рідину. В ній виокремимо деякий елементарний об’єм у формі паралелепіпеда зі сторонами dx, dy, dz, що переміщується зі швидкістю υ. Складові швидкості по осям координат позначимо υх, υу, υz.
Рівняння руху рідини може буде отримане, якщо на підставі відомого з теоретичної механіки принципа Даламбера до реально діючих сил, що враховуються рівняннями рівноваги рідини (тобто, сили тиску та масових сил) додати сили інерції. Остання визначається як добуток маси паралелепіпеду dm=ρdxdydz на прискорення його руху a=dυ/dt: Fi= -dma= - ρdxdydz(dυ/dt).
Знак “мінус” вказує на те, що напрямок сили інерції є протилежним напрямку прискорення.
Всі сили в рівняннях (*) були представлені у вигляді проекцій на координатні осі і віднесені до одиниці маси розглядає мого об’єму рідини.
Поступаючи так само й по відношенню сили інерції, для складових цієї сили по осям координат, віднесеним до одиниці маси, знайдемо: Fix= -dυx/dt, Fiy= -dυy/dt, Fiz= -dυz/dt.
Отримуємо:
(**)
В загальному випадку величини υx, υy та υz є функцією координат х,у,z та часу t, тому їх повний диференціал, наприклад, dυx, дорівнює:
Аналогічні вирази можуть бути записані для dυy та dυz.
Враховуючи вищенаведене, та маючи на увазі, що dx/dt=υx, dy/dt=υy, dz/dt=υz, отримаємо:
Це – диференційні рівняння руху ідеальної (нев’язкої) рідини. Вони встановлюють зв’язок між проекціями об’ємних (масових) сил та швидкостей, тиском та густиною рідини і є основою для вивчення основних питань гідродинаміки. Їх називають рівняннями Ейлера.