3.9. Закон Архімеда
Нехай у рідину занурено тіло довільної форми об’ємом V (рис. 9). Спроектуємо його на вільну поверхню рідини та спроектуємо циліндричну поверхню, яка дотикається поверхні тіла по замкнутій кривій. Ця крива відділяє верхню частину поверхні тіла АСВ від нижньої частини АDB. Вертикальна складова FВ1 сили надлишкового тиску рідини на верхню частину поверхні тіла спрямована до низу і дорівнює вазі рідини в об’ємі АА’B’BCA. Вертикальна складова FВ2 сили тиску рідини на нижню частину поверхні спрямована до гори і дорівнює вазі рідини в об’ємі АА’B’BDA. Звідси вертикальна рівнодійна сил тиску рідини на тіло буде спрямована до гори і дорівнює вазі рідини в об’ємі, що дорівнює різниці вказаних вище двох об’ємів:
FА= FВ2 - FВ1=GABCD=Vρg
У цьому і є зміст закону Архімеда: на тіло, занурене в рідину, діє виштовхувальна сила, спрямована вертикально уверх, що чисельно дорівнює вазі рідини, витисненої тілом та прикладена в центрі ваги об’єму зануреної частини тіла.
Сила FА має назву архимедової сили, а центр її прикладання, тобто центр ваги об’єму V – центром водомісткості.
В залежності від співвідношення ваги G тіла та архімедової сили FА можливі три випадки: 1) G> FА – тіло тоне, 2) G< FА – тіло вспливає та плаває на поверхні рідини в частково зануреному стані., 3) G= FА – тіло плаває в повністю зануреному стані.
Для рівноваги тіла, що плаває, окрім рівняння сил G= FА повинен дорівнювати нулю сумарний момент. Остання умова дотримується тоді, коли центр ваги тіла лежить на одній вертикалі із центром водомісткість. Умова стійкої рівноваги тіла, що плаває повністю зануреним у воду, полягає в наступному: центр ваги тіла повинен знаходитися нижче центру водомісткість.
3.10. Відносна рівновага рідини
Відносною рівновагою рідини називається такий стан, при якому кожна її частинка зберігає своє положення відносно твердої стінки посудини, що рухається. При відносній рівновазі рідини розглядаються дві задачі: визначається форма поверхонь рівня (рівного тиску) та визначається характер розподілу тиску. Ці задачі вирішуються за допомогою відомих рівнянь рівноваги рідини та поверхні рівня (dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz), Xdx+Ydy+Zdz=0).
3.10.1. Горизонтальне переміщення резервуара із рідиною при сталому прискоренні а (рис. 10)
В цьому випадку маємо: Х=-а, У=0, Z= -g.
Поверхня рівного рівня при цьому визначається рівнянням:
-(adx+gdz)=0
Після інтегрування отримуємо: ax+gz=const чи
z=(const – ax)/g=const – ax/g
Поверхнями рівного тиску будуть площини, кути нахилу яких до горизонтальної поверхні визначаються кутовим коефіцієнтом, рівним -а/g.
Закон розподілу тиску можна отримати після інтегрування диференційного рівняння рівноваги рідини з урахуванням Х= -а, У=0, Z= -g, а також граничних умов х=хо, z= zо, р=ро в наступному вигляді: р=ро+ρа(хо – х)+ρg(zо – z).
Це рівняння показує, що при русі резервуара із рідиною вздовж горизонтальної поверхні із рівним прискоренням а розподіл тиску підпорядковується лінійному закону для будь-якої фіксованої вертикалі (х=х1, х=х2,...). Це рівняння також можна записати у формі основного рівняння гідростатики: р=ро’+ρg(zo – z), де ро’=ро+ρа(хо – х).
