3.2. Диференційне рівняння рівноваги рідини

Виділемо в рідині, що знаходиться в стані спокою, елементарний об’єм у формі паралелепіпеду зі сторонами, паралельними осям координат та рівними відповідно dx, dy, dz (див.рис. 3) та розглянемо рівновагу діючих на цей паралелепіпед зовнішніх сил.

Такими силами є: 1) поверхневі сили гідростатичного тиску на грані паралелепіпеду з боку навколишньої рідини, 2) об’ємні (масові) сили.

Складемо рівняння проекцій цих сил на координатні осі.

Позначимо через р гідростатичний тиск в будь-якій точці грані abcd та будемо вважати його середнім для цієї грані. Тоді повна сила тиску на цю грань: pdydz, де dydz – площа грані.

Повна сила тиску на грань a’b’c’d’: [p+(

Знайдемо проекцію об’ємних (масових) сил на ось х. Визначимо її як проекцію елементарної маси паралелепіпеду dm=ρdxdydz на проекцію прискорення Х цих сил на ту саму вісь (проекції прискорення на інші осі позначимо Y та Z):

dmX= ρdxdydzX

Беручи суму та прирівнюючи до нуля встановлені таким чином вирази для проекцій всіх діючих на паралелепіпед сил, отримаємо перше рівняння рівноваги:

pdxdy – [p+ + ρdxdydzX=0

Після деяких нескладних перетворень отримаємо

- dxdydz+ ρdxdydzX=0

Поділивши це рівняння на ρdxdydz (тобто відносячи всі сили до одиниці маси), будемо мати:

Х - (1/ρ)(

Аналогічні рівняння отримаємо для проекцій на осі y та z:

Y - (1/ρ)(

Z - (1/ρ)(

Ці рівняння називають диференційними рівняннями рівноваги рідини. Вони вперше були отримані в 1775 році Л. Ейлером та в диференційній формі висловлюють закон розподілу гідростатичного тиску.

Для практичного користування зручніше замість системи рівнянь отримати одне еквівалентне рівняння, що не містить частинних похідних. Помножимо кожне рівняння відповідно на dx, dy, dz та складемо їх:

Xdx+YdY+Zdz -

чи

Тиск є функцією лише трьох незалежних змінних координат х, у та z, тому ліва частина цього рівняння являє собою повний диференціал функції р=f(x, y, z).

Остаточно отримуємо

dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz)

Це рівняння називають основним диференційним рівнянням рівноваги рідини.

Рівняння поверхні рівного тиску просто отримати з основного диференційного рівняння рідини. Так як для поверхні рівня p=const в будь-якій її точці, dp=0.

Xdx+Ydy+Zdz=0

Це і є рівняння поверхні рівня.

3.3. Рівновага рідини в полі сили ваги. Основне рівняння гідростатики.

В даному випадку масовою силою є сила ваги, а прискоренням – прискорення вільного падіння g. Тому проекції одиничної масової сили на осі 0х, 0у та 0z будуть наступними: Х=0, У=0, Z= -g. Рівняння поверхні рівня має вигляд: - gdz=0 чи z=const.

Таким чином, поверхнею рівня (поверхнею рівного тиску) в однорідній рідині, що перебуває в спокої, буде будь-яка горизонтальна площина, в тому числі й вільна поверхня, незалежно від форми посудини чи водойми.

Скористаємося основним диференційним рівнянням рівноваги рідини і після підставлення в нього Х=0, У=0 та Z= -g отримаємо: dp= -ρgdz. Після інтегрування та ділення на ρg отримаємо:

z+p/(ρg)=const

Це рівняння має назву основного рівняння гідростатики, воно висловлює закон розподілу гідростатичного тиску в рідині, що перебуває в спокої.

Для визначення сталої інтегрування розглянемо рівновагу рідини в посудині вільної форми (див. рис. 4). Тиск в кожній точці на вільній поверхні р=р_о, відстань від площини порівняння ( в нашому випадку – площина х0у) до вільної поверхні дорівнює z_o. Тоді const=z_o+p_o/(ρg) і основне рівняння гідростатики набуває наступного вигляду:

z+p/(ρg)=z_o+p_o/(ρg)

чи

p=p_o+ρg(z_o – z)

h=z_o – z – глибина занурення точки М, тому

р=р_о+ρgh

Це – інша форма основного рівняння гідростатики, зручна для практичних розрахунків.

р – повний чи абсолютний тиск, р_о – зовнішній тиск чи тиск на поверхні. Величина р_о залишається сталою для будь-якої точки всередині рідини, що перебуває в спокої.

Іншими словами, тиск на граничній (в даному випадку – на вільній поверхні) передається у всі точки рідини в стані спокою по всім напрямкам без змін – це є законом Паска ля.

Р_надл­= ρgh – надлишковий тиск.

р_абс=р_о+р_надл