15. Елементи газової динаміки

Течія газів (стисливих рідин) розглядається з урахуванням декількох умов. Приймають, що газ позбавлений в’язкості або впливом в’язкості можна знехтувати. До маси газу не підводиться теплота з навколишнього середовища і відсутній обмін механічною енергією. Тому процеси, що супроводжують течію газу, є адіабатними. Окрім цього, у живих перерізах потоку розподіл тиску і швидкостей течії приймається рівномірним. Така постановка задачі про течію газу називається одномірною.

15.1. Течія газу в каналі, що звужується

Нехай газ надходить до каналу, що звужується, з ресиверу, де швидкість дорівнює нулю, а температура і тиск Т₀ і р₀ (рис. 15.1). У будь-якому перерізі каналу буде дотримуватися рівність

υ²/2+с_рТ=с_рТ₀,

де υ – середня швидкість течії газу в даному перерізі; Т – його температура.

Швидкість течії газу в даному перерізі

.

Температура Т₀=(р₀/ρ₀)(1/R) і

.

При течії газу відношення значень температур в данному перерізі каналу і ресивері буде:

.

Оскільки течія газу адіабатна, то

.

Швидкість течії потоку газу в перерізі, де тиск дорівнює р:

. (1)

Цей вираз називають рівнянням Сен-Венана.

Швидкість газу залежить від початкових умов, відношення р_о/ ρ_о=RT_o і відношення тиску у даному перерізі каналу р до початкового тиску р_о. Коли тиск р у перерізі каналу стає рівним нулю, швидкість течії приймає максимальне (кінцеве) значення; коли тиск у перерізі стає рівним початковому, течія газу в каналі припиняється. При змінюванні відношення р/р_о від 1 до 0 швидкість течії в даному перерізі каналу змінюється від нуля до максимуму.

Густина газу вздовж каналу буде змінюватися в залежності від тиску у послідовних перерізах. Густина газу при адіабатній течії буде змінюватися за законом

.

При р=0 густина газу прямує до нуля, при р=р_о – до початкової густини. Вздовж розглядуваного каналу згідно із законом суцільності зберігається сталість масової витрати газу: .

Розглянемо, як змінюється добуток швидкості течії і густини в залежності від відношення тиску в данному перерізі до початкового тиску:

. (2)

Коли р/р_о=0 добуток ρυ=0; коли р/р_о=1, добуток ρυ також дорівнює нулю. При зміні відношення тисків р/р_о від нуля до одиниці значення добутку ρυ проходить через максимум.

Тиск, при якому добуток ρυ має максимальне значення, називається критичним і позначається р_к. Відношення тисків р_к/р_о, що відповідає максимуму функції ρυ, складає:

. (3)

При показнику адіабати к=1,41 критичне відношення тисків р_к/р_о=0,528.

Вздовж збіжного каналу, як це вже зазначалася, зберігається сталість масової витрати газу. При поступовому звуженні каналу, що відповідає зменшенні площі його перерізу ω, повинен збільшуватися добуток ρυ:

ρυ=m/ω=const/ ω.

Отож, вздовж каналу зменшується відношення р/р_о, тобто тиск знижується. Відношення р/р_о вздовж каналу по мірі його звуження буде все більше наближатися до критичного відношення р_к/р_о (рис. 15.2, гілка ab).

Коли відношення р/р_о сягне критичного значення, при подальшому звуженні каналу тиск знижуватися не буде. Добуток швидкості течії і густини являє собою масову витрату газу на одиницю площі перерізу каналу. Швидкість течії газу відповідно до рівняння (1) має межу, у той час як його густина може прямувати до нуля. Отже, об’єми одиниці маси газу можуть сягати дуже великих значень. Канал вже не може пропускати витрату більшу, ніж критична, і на виході з каналу встановлюється тиск, рівний критичному р_к.

Доти, доки тиск середовища р₁, в яке відбувається витікання газу, більший критичного р_к, тобто дотримується умова р₁>р_к, у кінцевомц перерізі каналу встановлюється тиск навколишнього середовища р₁. Коли тиск в середовищі є меншим, ніж критичного, тобто р₁<р_к, у вихідному перерізі каналу встановлюється критичний тиск р_к, що не залежить від тиску р₁. Якщо у вихідному перерізі каналу встановлюється критичний тиск р_к, тоді швидкість витікання газу

(3)

Густина газу при критичному тиску

.

Критичний тиск

.

Відношення

.

Відповідно, швидкість течії газу в перерізі збіжного каналу, де встановлюється критичний тиск:

,

де а – швидкість звуку.

Таким чином, якщо витікання з каналу, що звужується, відбувається у середовище із тиском меншим, ніж атмосферний, тоді швидкість у вихідному перерізі каналу не буде залежати від тиску навколишнього середовища і буде дорівнювати швидкості звуку. Якщо тиск навколишнього середовища буде більшим, ніж критичний, тоді швидкість витікання газу буде меншою за швидкість звуку, а її значення буде залежати від протитиску. Отримати у збіжному каналі швидкість більшу, ніж критична, неможливо.