12.2. Витікання з отворів при змінному напорі

Задача про витікання рідини при змінному напорі зазвичай зводиться до визначення часу випорожнення або наповнення всього або деякої частини посудини в залежності від початкового наповнення, форми та розмірів посудини та отвору. Подібні задачі зустрічаються при розрахунках наповнення та випорожнення резервуарів, цистерн, водосховищ, басейнів, шлюзових камер тощо.

В итікання рідини через отвір при змінному рівні рідини відбувається при неусталеному русі. Зі зміною рівня в посудині змінюється швидкість витікання, а отже, і витрата рідини. Тому для визначення часу часткового або повного випорожнення посудини необхідно мати на увазі, що певна витрата через отвір відповідає певному напору, який зберігається на протязі безмежно малого проміжку часу.

Для визначення часу витікання рідини через отвір при зміні рівня рідини від z₁ до z₂ (рівень рідини над площиною порівняння О-О, що проходить через центр отвору) можна використати наступні положення (рис. 30). Вважаємо, що рідина витікає з відкритої вертикальної посудини з постійною по всій висоті площею поперечного перерізу S_пос в атмосферу через малий отвір у бічній стінці. Позначимо змінний рівень рідини у посудині через z, а зміну рівня за час dt через (-dz). Знак «мінус» біля dz показує, що величина z змінюється в бік зменшення.

Визначимо об’єм рідини dV, що витікає з отвору за час dt. Для безмежно малого проміжку часу можна вважати середню витрату рідини сталою і рівною Q, тобто

.

Елементарний об’єм рідини dV, що пройшов через отвір площею S_отв за нескінченно малий проміжок часу dt, складає (згадаємо, що , де z – напір над центром тяжіння отвору)

. (1)

Той самий об’єм dV можна визначити із залежності

. (2)

Ліві частини рівнянь (1) та (2) однакові, тому можна записати, що

,

звідки

. (3)

Час витікання рідини через отвір при зміні рівня над горизонтальної площиною О-О, що проходить через центр тяжіння бічного отвору, від z₁ до z₂, визначається інтегруванням рівняння (3). Після інтегрування отримуємо:

. (4)

Час повного випорожнення посудини визначається (точніше, час випорожнення до рівня горизонтальної площини О-О, що проходить через центр тяжіння бічного отвору) за умови, що z₁=H, z₂=0, тоді

, (5)

де Н – початковий рівень (напір) рідини над площиною О-О.

Цю формулу можна перетворити до іншого вигляду, якщо чисельник і знаменник помножити на , тоді

, (6)

де V – початковий об’єм рідини у посудині (об’єм над площиною О-О); Q_max – максимальна витрата рідини через отвір, яка відповідає початковому напору Н.

Таким чином, час випорожнення ємності при змінному напору у двічі більший часу випорожнення такої ж посудини при постійному напорі.

13. Неусталений рух рідини.

Явище гідравлічного удару. Під гідравлічним ударом розуміють різке підвищення тиску в трубопроводах при раптовій зупинці рідини, що рухається в них. Гідравлічний удар виникає при швидкому закритті різних запірних застосувань, що встановлюються на трубопроводах (засувка, кран), раптовій зупинці насосів, що перекачують рідину. Гідравлічний удар може призвести до пошкодження місць з’єднання окремих труб, розриву стінок трубопроводу, злому насосів.

Розглянемо горизонтальний трубопровід незмінного діаметру, по якому зі середньою швидкістю υ рухається рідина. Якщо швидко закрити встановлену на такому трубопроводі засувку, тоді шар рідини, що знаходиться безпосередньо біля засувки, повинен буде зупинитися, а тиск – збільшитися (внаслідок переходу кінетичної енергії в потенційну енергію тиску). Оскільки рідина є стисливою, то зупинка всієї її маси в трубопроводі не відбувається миттєво. Границя об’єму, що вміщує у собі рідину, що зупинилася, буде переміщуватися вздовж трубопроводу з деякою швидкістю с, що називається швидкістю розповсюдження хвилі тиску.

Розглянемо прилеглу до засувки частину об’єму рідини Fcdt=Fds (де F – площа перетину труби). За час dt цей об’єм, зупинившись, втратить кількість руху ρFdsυ.

Позначимо тиск біля засувки до її відкриття р₀ , а тиск, що виникає після зупинки, - р₀+Δр, та користуючись теоремою кількості руху, знайдемо різницю тиску Δр. Імпульс сили, що діє впродовж часу dt, дорівнює ΔрFdt. Прирівнюючи його до зміни кількості руху за цей же час, отримуємо:

,

звідки з урахуванням, що ds/dt=c, після скорочення на F, отримуємо відому формулу Н.Є. Жуковського:

,

за якою визначається підвищення тиску при гідравлічному ударі.

Далі зупиняється найближчий до першого – другий шар рідини, на який тиснуть наступні шари тощо. Таким чином, поступово підвищений тиск, що виникнув спершу безпосередньо біля засувки, розповсюджується по всьому трубопроводу зі швидкість с.

Якщо тиск на початку трубопроводу залишається незмінним, то після досягання ударної хвилі початкового перетину труби починається зворотне переміщення її з тією ж швидкістю с. При чому це буде хвиля зниженого тиску. Одночасно в трубі виникає рух рідини по напрямку до початкового перетину. Після досягнення ударною хвилею перетину біля засувки тиск тут падає та стає нижче первісного тиску до удару. Після цього починається переміщення ударної хвилі, але вже хвилі зниженого тиску в напрямку до початку трубопроводу. Цикли підвищення та зниження тиску будуть чергуватися через проміжки часу, що дорівнюють подвійному пробігові ударної хвилі ділянки трубопроводу від засувки до початку трубопроводу.

Таким чином, при гідравлічному удару рідина, що знаходиться в трубопроводі, буде здійснювати коливальні рухи, які внаслідок гідравлічних опорів, що поглинають первісну енергію рідини, будуть такими, що згасають. Швидкість розповсюдження ударної хвилі залежить від роду рідини, матеріалу труби, її діаметру, товщини стінок та визначається наступним виразом, що отримується з умови рівності між кінетичною енергією рідини, що рухається в трубопроводі, та сумою робіт – стиснення рідини та розтягання труби:

,

де К – модуль пружності рідини, тобто величина, обернена до коефіцієнта стискав ості, ρ – густина рідини, Е – модуль пружності матеріалу труби, d, δ – внутрішній діаметр та товщина стінки труби.

Якщо вважати матеріал труби абсолютно нестисливим (Е=∞), цей вираз приймає вигляду

та швидкість розповсюдження ударної хвилі буде дорівнювати швидкості розповсюдження звуку в рідині.

Для води швидкість (у м/с) розповсюдження ударної хвилі може бути підрахована за формулою

,

де а – безрозмірний коефіцієнт (для сталі та заліза а=0,5, для чавуну та міді а=1, для свинцю а=5).

Для боротьби з гідравлічним ударом на трубопроводах встановлюють різного роду пристрої, що збільшують час закриття засувок та кранів й тим самим пом’якшують дію удару. Безпечний час закриття трубопроводу визначається за формулою t₃>2L/c, де L – довжина трубопроводу.