5.2. Рівняння Бернуллі для елементарної струминки реальної рідини

Якщо при русі ідеальної рідини її повна питома енергія чи напір Н зберігає незмінне значення по довжині струмка, то при русі реальної рідини ця енергія буде зменшуватися по напрямку руху. Причиною цього є витрати енергії на подолання опорів руху, що зумовлюються внутрішнім тертям у в’язкій рідині.

, де h_втр – втрата напору між перетинами 1 та 2.

Згідно із цим графік рівняння Бернуллі для струмка реальної рідини буде відрізнятися від аналогічного графіка для ідеальної рідини. Оскільки у випадку реальної рідини повний напір вздовж струмка не є сталим, а зменшується по напрямку руху, зміна його значень по довжині струмка зображують не горизонтальною прямою, як у випадку ідеальної рідини, а деякою похилою кривою.

5.3. Рівняння Бернуллі для потоку реальної (в’язкої) рідини

При переході від елементарної струминки ідеальної рідини до потоку реальної (в’язкої) рідини, що має кінцеві розміри та обмеженого стінками, необхідно враховувати нерівномірність розподілення швидкостей по перетину, а також втрати енергії (напору). Перше та друге є слідством в’язкості рідини.

При русі в’язкої рідини вздовж твердої стінки, наприклад, в трубі, виникає гальмування потоку внаслідок впливу в’язкості та дії сил молекулярного зчеплення між рідиною та стінкою. Тому найбільшого значення швидкість досягає в центральній частині потоку, а по мірі приближення до стінки вона зменшується практично до нуля.

Внаслідок нерівномірного розподілу швидкостей виникає ковзання (зсув) одних шарів рідини відносно других, виникають дотичні напружини (напружини тертя). Окрім цього, рух в’язкої рідини часто супроводжується обертанням часток, вихроутворенням та перемішуванням. Все це потребує витрат енергії, тому питома енергія в’язкої рідини, що рухається, не залишається сталою, як у випадку ідеальної рідини, а поступово витрачається на подолання опорів, і, як наслідок, зменшується вздовж потоку.

Із-за нерівномірності розподілу швидкостей вводять до розгляду середню по перетину швидкість υ_сер, та середнє значення питомої енергії рідини в даному перетині.

Зробимо припущення: в межах поперечних перетинів потоку є справедливим основний закон гідростатики:

Введемо поняття потужності потоку. Потужністю потоку в даному перетині будемо називати повну енергію, яку проносить потік через цей перетин в одиницю часу. Так як в різних точках поперечного перетину потоку частки рідини мають різну енергію, спочатку виразимо елементарну потужність (потужність елементарної струминки) у вигляді добутку повної питомої енергії рідини в даній точці та елементарної масової витрати:

Потужність всього потоку:

Враховуючи зроблене припущення:

Знайдемо середнє по перетину значення повної питомої енергії рідини, поділивши повну потужність потоку на масову витрату. Згадуючи, що , отримаємо:

Помноживши та поділивши останній член на , отримаємо (переходячи до напорів):

,

де α – безрозмірний коефіцієнт Коріоліса, що враховує нерівномірність розподілу швидкостей і рівний:

Для ламінарного руху в циліндричній трубі α=2, а для турбулентного α=1,045...1,10.

Візьмемо два перетини реального потоку, перший та другий, та позначимо середні значення повного напору рідини в цих перетинах відповідно Н_сер1 та Н_сер2. Тоді

Н_сер1=Н_сер2+∑h_втр , де ∑h_втр – сумарна втрата повного напору на ділянці між перетинами 1 та 2.

Використовуючи формулу для Н_сер, вищезгадане рівняння можна переписати так:

Це є рівнянням Бернуллі для потоку в’язкої рідини.

При практичних розрахунках часто приймають α=1, тим самим нехтуючи нерівномірністю розподілу швидкостей та припускаючи, що всі струминки як би рухаються з одною й самою середньою швидкістю. Тому часто для практичних розрахунків рівняння Бернуллі для реальної рідини записують у вигляді:

Якщо для струминки ідеальної рідини рівняння Бернуллі являє собою закон збереження механічної енергії, то для потоку реальної рідини воно є рівнянням балансу енергії з урахуванням втрат. Енергія, що втрачається рідиною на даній ділянці течії, не зникає безслідно, а перетворюється на іншу форму – теплову.

Зменшення середнього значення повної питомої енергії рідини вздовж потоку, віднесене до одиниці його довжини, називається гідравлічним схилом. Зміна питомої потенційної енергії рідини, віднесена до одиниці довжини, називається п’єзометричним схилом.