Раздел II. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ряды.

Тема 4. Интегралы.

4.1. Понятие неопределенного интеграла. Вычисление неопределенных интегралов.

4.1. Проверить, что:

Вычислить интегралы:

Применяя метод замены переменных, вычислить интегралы:

С помощью метода интегрирования по частям вычислить интегралы:

При вычислении интеграла воспользоваться тем, что

Вычислить интегралы, используя формулы:

В примерах 4.92 - 4.95 применить подстановку

тогда

Вычислить интегралы:

4.2. Понятие определенного интеграла. Вычисление определенного интеграла.

4.117. Составлением интегральных сумм и переходом к пределу найти интегралы:

4. 118. Вычислить интегральную сумму S₅ для интеграла , разбив отрезок [1;2] на пять равных частей и взяв в каждой части ее середину. Сравнить с точным значением интеграла.

4.119. Выполнить задание предыдущей задачи для интеграла

Вычислить:

4.120. 4.121.

4.122. 4.123.

4.124. 4.125.

4.126. 4.127.

4.128. 4.129.

4.130. 4.131.

4.132. 4.133.

4.134. 4.135.

4.136. 4.137.

4. 3. Геометрические приложения определенного интеграла.

Найти площади фигур, ограниченных линиями:

4.138. у= e^x, х=0, х=1, у=0.

4.139. у= x²+5x+6, х=-1, х=2, у=0.

4.140. у= -x²+2x+3, у=0.

4.141. у=x⁷, х=2, у=0.

4.142. у= ln x, х=e, у=0.

4.143. у= sin x, у=0, .

4.144. у= x², у=4.

4.145. у= cos x, у=1/2, .

4.146. у=x² , у=2-x².

4.147. у= x² , у= .

4.148. xу=1, у=-x+2,5.

4.149. у= x³, у=x²-4x+4, y=0.

4.150. у= , у=2- , y=0.

4.151. у= x³ , х=-1, у=0.

4.152. у= 2x²-10x+12, у=-x²+5x-6.

4.153. у= sinx, у=x²- x.

4.154. у= , х=0, у=x²-4x.

4.155. у= x²-2, у=1-2x².

4.156. у= x²+x-2, у=2x.

4.157. у= x²+4x, у=x+4.

Найти объемы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной линиями:

4.158. у= 4-x², у=0, х=0, где , вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу.

4.159. у= e^x, x=0, x=1, у=0 вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу.

4.160. у= x²+1, у=0, х=1, x=2 вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу.

4.161. у= , х=1, y=0 вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу.

4.162. у= sin x, у=0, вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу.

4.163. у= , х=1, x=4, y=0 вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу.

4.164. у=x-x², у=0 вокруг оси Ох.

4.165. у= x³ , у=1, х=0 вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу.

4.166. у= cosx, у= 1/2, вокруг оси Ох.

4.167. у=x², у= , вокруг оси Ох.

4.168. у= 9/x, у=x , х=4, y=0 вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу.

4.169. у= x²+1, у= 3x-1 вокруг оси Оу.

4.170. х=1-3y², x=-2y² вокруг оси Ох.