2.4. Исследование функций и построение графиков.

2.203. Найти максимумы и минимумы и промежутки возрастания и убывания функций:

1) f(x)=x³ - 3x² - 9x + 5; 2) f(x)=

3) f(x)=xlnx; 4) f(x)= x - arctg2x;

5) f(x)=x²e^-x.

2.204. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функций:

1) f(x)=x³- 12x² +5x - 1; 2) f(x)= ;

3) f(x)=x²lnx; 4) f(x)=x arctgx.

Исследовать функции и построить их графики:

2.205. у=e . 2.206. у=12х-х³.

2.207. у= 2.208. у=

2.209. у= 2.210. у=

2.211. у= x ln² x. 2.212. у= x - lnx.

2.213. у= 2.214. у=

2.215. у= x+ arctgx. 2.216. у= x- arctg 2x.

2.217. y= 2.218. y=x² .

2.219. В промышленности нужно разместить заказ на изготовление цилиндрической емкости для расфасовки жидкого продукта. Каковы должны быть радиус основания и высота емкости, чтобы при заданном объеме V затраты на материал для ее изготовления были минимальными? Учесть при этом, что затраты на материал пропорциональны площади поверхности емкости.

2.220. Объем пакета в форме параллелепипеда для расфасовки молока равен W. Каковы должны быть стороны основания, чтобы затраты на материал упаковки были минимальными, если стороны основания относятся как 1:2. Принять, что затраты на материал пропорциональны площади поверхности пакета.

2.221. Переносной торговый павильон имеет форму конуса, для которого необходимо заказать ткань для покрытия. Каково должно быть соотношение между высотой и радиусом конуса, чтобы при заданной вместимости (объема) павильона W было затрачено минимальное количество материи?

2.222. Прямоугольная площадка, примыкающая одной стороной к каменной стене, с трех сторон огорожена железной решеткой. Какова должна быть длина сторон площадки, чтобы она имела наибольшую площадь, если имеется 200 м решетки?

2.223. Бак без крышки с квадратным основанием должен иметь объем 1 м³. Каково должно быть отношение стороны основания бака к высоте, чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

2.224. Кооператив имеет грузовой автомобиль. Расходы на топливо для автомобиля пропорциональны кубу средней скорости его движения. Известно, что при скорости 20 км/час расходы на топливо составляют 4 у.е. в час; остальные же расходы, не зависящие от скорости, составляют 625 у.е. в час . При какой скорости движения автомобиля общая сумма расходов на 1 км пути будет наименьшая?

2.225. Директору универмага нужно принять решение о том, какого вида рекламное объявление целесообразно разместить в местной газете. Объем рекламного объявления (число строк) определяет объем продажи товара в стоимостном выражении, но не так однозначно, как этого бы хотелось: излишнее многословие в рекламе портит дело, и, если при объявлении в 20 строк текста ожидаемый объем продаж товара достигает 5800 у.е., то при объявлении в 60 строк текста объем продаж снижается до 2200 у.е. Связь между размером объявления и объемом продаж описывается зависимостью az²+bz+4000, где z - число строк в объявлении.Определить количество строк в рекламе, обеспечивающих универмагу максимальную выручку (с учетом расходов на рекламу), и размер этой выручки. Стоимость строки в объявлении составляет 30 у.е..

2.226. Директор продовольственного магазина установил из повседневной практики, что прибыль С(х) возрастает при увеличении объема завозимых продуктов х (кг) до определенного значения, а затем убывает при больших значениях х, так как слишком большой запас продуктов приводит к возникновению значительных затрат, связанных с их хранением и транспортировкой внутри магазина . Определите, какое количество продуктов (кг) следует завезти единовременно в магазин, чтобы прибыль от их продажи достигала максимального значения. Известно, что при завозе 300 кг продуктов прибыль составляет 10600 у.е., а при завозе 2,5 тонн продуктов прибыль увеличивается до 15000 у.е. Принять при этом С(х) =ах²+bх.

2.227. Зависимость финансовых накоплений предприятия от объема выпуска продукции имеет вид:

А=-0,01 х³ +300х - 500.

Определить, при каком объеме выпуска продукции финансовые накопления предприятия убывают и при каком возрастают.

2.228. На предприятии переменные издержки К в зависимости от объема выпуска продукции V составляют:

К= V³ - V² + 80V +300.

Исследовать, как изменяются издержки при изменении объема выпуска продукции. Построить график К (V).

2.229. В какой точке кривой у=х³ , х [1,2] следует провести касательную, чтобы она пересекала прямые х=1 и х=2 в точках, сумма расстояний до которых от оси абсцисс наибольшая . Написать уравнение этой касательной.

2.230. При каких а<0 касательная к графику функции у= в точке с абсциссой х=0,5 отсекает от координатного угла треугольник с наименьшей суммой длин катетов?