2.2. Понятие дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков.

Найти дифференциалы функций:

2.122. y= x³ - 3ln x . 2.123. y= cos x e^x .

2.124. y= sin 3x . 2.125. y= tg ln x .

2.126. y= x² arctg x . 2.127. y= .

2.128. y= . 2.129. y= .

2.130. y= arcsin e^x . 2.131. y= .

2.132. y= 2.133. y=

2.134. Найти приращение y и дифференциал dy

1) функции у=х², если х=3, х=0,01;

2) функции у= , если х=1 , х= -0,2;

3) функции у= , если х= 1 , х=-0,1351;

4) функции у= x³, если х= 1 , х= 0,1.

2.135. Найти приближенно приращение у:

1) функции у= , если х= 4 , х= 0,08;

2) функции у= sinx , если х= , х= 0,02;

3) функции у= lnx , если х= 5 , х= -0,1.

Найти производные 2-го порядка от функций:

2.136. у= sin2x. 2.137. у= arctg x.

2.138. у= x² lnx. 2.139. у= e^x sin x.

2.140. у= arcsin x. 2.141. у= ln cosx.

2.142. у= e . 2.143. у= .

2.144. у= ctg x. 2.145. у= .

Найти производные 3-го порядка от функций:

2.146. y=e^x cosx. 2.147. y= x² e^x .

2.148. y=ln(2x+5). 2.149. y= xlnx.

Найти производные n-го порядка от функций:

2.150. y= . 2.151. y= e^2x.

2.152. y= 5^x. 2.153. y= ln(1+x).

2.154. y= xe^x. 2.155. y= (2x-3)ⁿ.

Найти дифференциалы 2-го порядка от функций:

2.156. y= x³ - 3x² + x + 1. 2.157. y= (0,1x+1)⁵.

2.158. y= xcos2x. 2.159. y= sin²x.

2.160. y= 25 x². 2.161. y= ln(1+x²).

2.3.Основные теоремы дифференциального исчисления.

Правило Лопиталя.

2.162. Удовлетворяют ли условиям теоремы Ролля функции:

1) f(x)=x, x [0,1];

2) f(x)= ;

3) f(x)= , x [-1,1] ?

Пояснить графически.

2.163. Применима ли теорема Ролля к функции f(x)=1 - на

отрезке [-1,1] ?

2.164. Удовлетворяют ли условиям теоремы Ролля функции:

1) f(x) = sinx на отрезке [ ];

2) f(x) = на отрезке [ -2,2];

3) f(x) = x² -2x-15 на отрезке [ 0,2];

4) f(x) = x³ +2x² -x -2 на отрезке [ -1,1];

5) f(x) = на отрезке [ ];

6) f(x) = на отрезке [ ] ?

В случае применимости теоремы найти точку с, в которой .

2.165. Доказать, что уравнение х³ +3х - 5 = 0 имеет только один вещественный корень.

2.166. Проверить, применима ли теорема Лагранжа к функциям:

1) f(x) = x³ на отрезке [-1,1];

2) f(x) = на отрезке [ 0,4];

3) f(x) = ln x на отрезке [1,2];

4) f(x) = x² - 3x + 2 на отрезке [ 3,5];

5) f(x) = на отрезке [-1,2].

В случае применимости найти точку с , для которой

где а,b - концы указанных отрезков.

2.167. Написать формулу Лагранжа для функции f(x)=x² на отрезке [a,b] и найти с. Пояснить графически.

2.168. В какой точке касательная к параболе у=х² параллельна хорде, стягивающей точки А(-1;1) и В(3;9)? Пояснить графически.

2.169. В какой точке касательная к кривой у=arctg x параллельна хорде, стягивающей точки А(0;0) и В(1; ?

2.170. Построить график функции у= на отрезке [0,3]. Почему здесь нельзя провести касательную, параллельную хорде ? Какое из условий теоремы Лагранжа здесь не выполнено?

2.171. Проверить, что функции:

1) f(x) =sin x и g(x)=cosx на отрезке

2) f(x) = x² и g(x)= на отрезке [ 1,4];

3) f(x) = x² +2x + 3 и g(x) =x³ +1 на отрезке [ 0,1];

4) f(x) = x³ и g(x)=x² на отрезке [a,b], 0 [a,b],

удовлетворяют условиям теоремы Коши. Для каждой пары функций

найти точку с, в которой где а,b - концы указанных отрезков.

2.172. Удовлетворяют ли условиям теоремы Коши функции f(x)=e^x

и g(x)= на отрезке [-2,2]?

Найти пределы с помощью правила Лопиталя:

2.173. 2.174.

2.175. 2.176.

2.177. 2.178.

2.179. 2.180.

2.181. 2.182.

2.183. 2.184.

2.185. 2.186.

2.187. 2.188.

2.189. 2.190.

2.191. 2.192.

2.193. 2.194.

2.195. 2.196.

2.197. 2.198.

2.199. 2.200.

201. 

2.202.