7. Доверительная оценка случайной величины

На практике возникает задача не только определения наиболее вероятного значения случайной величины (результата измерений) - х₀ и его СКП - т₀, но и ориентировочная оценка их точности и надежности.

Нас интересует вероятность того, что допущенная при измерении ошибка не превзойдет некоторой величины А

Р(|Х-Хо|<∆),

т.е. вероятность нахождения истинного, неизвестного нам значение X, в пределах от х₀-А до х₀+ А.

Эта вероятность называется доверительной;

границы х₀ - А и х +А - доверительными границами;

интервал хо±А - доверительным интервалом.

Доверительный интервал характеризует точность полученного результата, а доверительная вероятность — его надежность.

Для случайных величин, подчиняющихся нормальному закону распределения, доверительный интервал и доверительная вероятность могут быть рассчитаны с помощью функции Лапласа (Приложение 1).

Функция Лапласа и пояснения к ее использованию приведены в

таблицах МТ-75.

На практике, при ограниченном числе измерений в серии наблюдений (п<15), более достоверную оценку доверительного интервала и доверительной вероятности можно получить с помощью распределения Стьюдента (Приложение 2).

Порядок расчета доверительной вероятности и доверительного интервала покажем на конкретном примере.

Пример 7.1 При стоянке судна на якоре выполнили серию из пяти измерений горизонтального угла между береговыми ориентирами с помощью навигационного секстана. Рассчитали наиболее вероятное значение измеренного угла (среднее арифметическое) - 30° 12,5' и его СКП ±0,6'. Определить доверительную вероятность для интервала 30° 11,5' - 30° 13,5'; найти доверительный интервал для вероятности 95%.

Решение.

Дано: n=5; х₀=30° 12,5'; m₀=±0,6'; ∆₀=1,0'; Р₂=95%.

1. Для расчета доверительной вероятности определим значение.

вспомогательной величины t₁:

t₁ = ∆₁/m₀ = 1,0'/0,6'= 1,667.

2. В таблице Приложения 2 (распределение Стьюдента), в строке для п-1 = 4, обратным входом найдем значение доверительной вероятности P₁:

Р₁ = 0,822 = 82,2%.

Примечание. О работе с таблицами, правилах и способах интерполяции смотри главу 2 настоящего задачника.

3. Для определения доверительного интервала по значениям

Р₂ = 95% = 0,95 и п-1= 4 в таблице Приложения 2 находим значение t₂:

t₂ = 2,77.

4. Рассчитываем значение доверительного интервала ∆₂:

∆₂=t₂* m₀ = 2,77*0,6' = 1,662' = 1,7'.

Ответ:

Доверительная вероятность для интервала 30°12,5'±1' , т.е. для интервала 30°11,5' -30°13,5' равна 82,2%; доверительный интервал для вероятности Р = 95% равен 30°12,5'± 1,7', т.е. с вероятностью 95% истинное значение измеренного горизонтального угла находится в интервале 30° 10,8' - 30° 14,2'.

В задачах №№ 391 - 420 приведены результаты обработки серии измерений радиопеленга:

п- количество измерений в серии;

хо - наиболее вероятное значение радиопеленга в серии;

то - СКП наиболее вероятного значения.

Заданы значения:

∆₁ - определяет величину доверительного интервала (см.пример 7.1)

и равняется его половине;

Р₂ - доверительная вероятность.

Рассчитать:

доверительную вероятность для интервала, заданного ∆₁

доверительный интервал для вероятности Р₂.

№	n	x0	т0	∆1	Р2	№	n	x0	т0	∆1	P2
391	3	195,0°	±1,2°	1°	95%	406	11	103,0°	±0,3°	1	95%
392	10	35,5	0,5	1	95	407	5	262,5	0,9	1	95
393	5	17,0	1,0	1	95	408	10	310,0	0,7	1	95
394	7	136,5	0,8	1	95	409	7	217,5	0,8	1	95
395	2	210,5	2,0	1	95	410	3	44,0	1,8	1	95
396	12	178,0	0,3	1	95	411	10	225,5	0,5	1	95
397	4	247,5	1,5	1	95	412	6	310,0	0,8	1	95
398	9	320,0	0,6	1	95	413	5	14,5	1,2	1	95
399	6	1,5	0,9	1	95	414	12	108,0	0,3	1	95
400	10	10,0	0,4	1	95	415	8	77,5	0,6	1	95
401	3	162,5	1,4	1	95	416	5	232,0	1,3	1	95
402	5	231,0	1,0	1	95	417	10	359,5	0,4	1	95
403	7	6,5	0,7	1	95	418	3	44,0	1,5	1	95
404	9	16,0	0,4	1	95	419	11	111,5	0,2	1	95
405	3	341,5	1,3	1	95	420	5	267,0	0,8	1	95