Ответы к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции»

1. Определения.

1.1. Последовательности

1.1.1. Сформулируйте определение бесконечно малой последовательности.

Последовательность { x_n } называется бесконечно малой, если для любого положительного числа ε можно указать номер N такой, что при n≥N все элементы x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству .

)

1.1.2. Сформулируйте определение ограниченной последовательности.

Последовательность { x_n } называется ограниченной с обеих сторон или просто ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т.е. если существуют числа a и b такие, что любой элемент x_n этой последовательности удовлетворяет неравенствам:

Если последовательность { x_n } ограничена a и b , то все элементы x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству , где с – максимальное из двух чисел и .

1.1.3. Сформулируйте определение последовательности ограниченной сверху.

Последовательность { x_n } называется ограниченной сверху, если существует такое вещественное число b , что каждый элемент x_n последовательности { x_n } удовлетворяет неравенству x_n≤b.

При этом число b называется верхней гранью последовательности { x_n }, а неравенство x_n≤b называется условием ограниченности последовательности сверху.

Точная верхняя грань :

1.1.4. Сформулируйте определение последовательности ограниченной снизу.

Последовательность { x_n } называется ограниченной снизу, если существует такое вещественное число a , что каждый элемент x_n последовательности { x_n } удовлетворяет неравенству x_n≥a.

При этом число a называется нижней гранью последовательности { x_n }, а неравенство x_n≥a называется условием ограниченности последовательности снизу.

Точная нижняя грань : a

1.1.5. Сформулируйте определение неограниченной последовательности.

Последовательность { x_n } называется неограниченной, если для любого положительного числа с найдется элемент x_n этой последовательности, удовлетворяющий неравенству

1.1.6. Сформулируйте определение бесконечно большой последовательности.

Последовательность { x_n } называется бесконечно большой, если для любого положительного числа М можно указать номер N такой, что при n≥N все элементы x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству .

1.1.7. Сформулируйте определение сходящейся последовательности.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

1.1.8. Сформулируйте определение монотонной последовательности.

Невозрастающие и неубывающие последовательности называют монотонными последовательностями.

1.1.9. Сформулируйте определение предельной точки последовательности.

Число a называется предельной точкой последовательности { x_n } , если в любой -окрестности точки a содержится бесконечно много членов последовательности { x_n }

1.1.10. Сформулируйте определение подпоследовательности.

Пусть { x_n } – некоторая числовая последовательность. Рассмотрим произвольную возрастающую последовательность целых положительных чисел k₁, k₂, … , k_n, … Отметим, что . Выберем из { x_n } члены с номерами k₁, k₂, … , k_n , … : . Полученная числовая последовательность называется подпоследовательностью последовательности { x_n }.

1.1.11. Сформулируйте определение верхнего и нижнего пределов

Последовательности.

Наибольшая (наименьшая) предельная точка последовательности { x_n }, ограниченной сверху (снизу) , называется верхним (нижним) пределом этой последовательности и обозначается

1.1.12. Сформулируйте определение фундаментальной последовательности.

Если последовательность имеет конечный предел, то для нее выполняется условие Коши: . Такая последовательность называется фундаментальной

1.2. Функции

1.2.1. Сформулируйте определение предела функции.

1.2.2. Сформулируйте определение монотонной функции.

Функция y=f(x) называется неубывающей (невозрастающей) на множестве {x} , если для любых x1 и x2 из этого множества, удовлетворяющих условию x1<x2,справедливо неравенство . Неубывающие и невозрастающие функции объединяются общим наименованием монотонные функции.

1.2.3. Сформулируйте определение непрерывности функции.

Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки а. тогда f(x) называетcя непрерывной в точке а, если   > 0   > 0: | f(x) - f(а) | <  при | х - а | < .

1.2.4. Сформулируйте определение обратной функции.

Пусть функция у = f(x) определена на множестве Х, и пусть Y - множество её значений. Пусть каждое своё значение функция принимает только в одной точке. Поставим в соответствие каждому у  Y то число х  Х, для которого f(x) = у. Тем самым на множестве Y будет определена функция . Она называется обратной по отношению к функции у = f(x) и обозначается х = (у).

1.2.5. Сформулируйте определение сложной функции.

Пусть аргумент t функции y = f(t) является функцией аргумента x: t = (x). В этом случае говорят, что переменная у является сложной функцией от аргумента х или у является суперпозицией функций f и .

y = f( (x)).

1.2.6. Сформулируйте определение предела функции по Коши в точке.

Число b называется пределом f(x) в точке a, если   > 0    0 такое, что

 x  X, 0 < | x - a | <  : | f(x) - b | <  .

1.2.7. Сформулируйте определение предела функции по Коши при x →∞

Число А называется пределом функции при если для любого ε>0 найдется отвечающее число k такое, что для любого x>k будет выполняться неравенство . Т.е.

1.2.8. Сформулируйте определение правого предела функции в точке по Коши.

Число b называется правым пределом функции f(x) в точке a, если   > 0    0 такое, что

 x  X, a < x < a +  : | f(x) - b | <  .

1.2.9. Сформулируйте определение предела функции по Гейне.

Число b называется пределом функции f(x) в точке а если для любой сходящейся к а последовательности { x_n } такой x_n X, x_n а, соответствующая последовательность значений функции { } сходится к b

2. Теоремы.