Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГБОУ ВПО « Магнитогорский государственный технический

университет им. Г.И. Носова»

Институт энергетики и автоматики

Кафедра теплотехнических

и энергетических систем

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ В ГИДРОГАЗОДИНАМИКЕ

Методические указания по выполнению

лабораторной работы для студентов всех

специальностей, изучающих теплотехнические

дисциплины

Магнитогорск

2012

Составители: Ю. И. Тартаковский

Т.П. Семенова

М.А. Лемешко

Построение линии пьезометрического давления. Методические указания по выполнению лабораторной работы для студентов всех специальностей, изучающих теплотехнические дисциплины . Маг­нитогорск: ГОУ ВПО «МГТУ», 2012. 15 с.

Рецензент

© Ю. И. Тартаковский,

Т.П.Семенова,

М.А. Лемешко, 2012

1. Цель работы

Исследование экспериментальным путем основ теории подобия в гидрогазодинамике

2. Используемое оборудование

Стационарный стенд.

3. Теоретическая часть

Математические уравнения, описывающие основные закономерности движения жидкостей и газов не позволяют получить результаты для подавляющего большинства случаев важных в практике, поэтому эксперимент в механике жидкостей и газов иногда может быть единственным доступным способом изучения гидродинамических явлений .

Одним из основных методов эмпирического исследования гидродинамических процессов является их моделирование в лабораторных условиях , где как правило , исследуемые явления воспроизводятся на модели в совершенно другом масштабе , чем в натуральных условиях . Основой переноса результатов моделирования на натуральные условия является теория подобия .

В основе теории подобия гидродинамических явлений лежат общие условия механического подобия . Явления считаются механически подобными , если в них :

• одинаково отношение всех геометрических элементов – размеров . расстояний . углов . перемещений и т.п. ;

• одинаково отношение кинематических параметров в сходственных точках ;

• одинаково соотношение сил , действующих в сходственных точках и соответственных направлениях .

1

Таким образом, геометрическое подобие является подобием границ областей течений, кинематическое подобие подразумевает подобие полей местной скорости, а динамическое подобие подразумевает подобие системы приложенных сил.

Связь между любыми соответствующими геометрическими параметрами натурального и модельного потоков имеют вид:

, (1)

где индекс “н” – относится к геометрическим размерам

натурального потока ;

индекс “м” – обозначает размеры модели ;

- линейный масштаб или константа геометрического

подобия.

Кинематическое подобие состоит в том, что в любых сходственных точках отношение скоростей и проекций скоростей одинаково и равно масштабу скоростей , т.е. выполняется условие

. (2)

Теоретический анализ показывает, что из условия кинематического подобия автоматически следует геометрическое подобие линий тока, а для установившегося потока это условие означает и подобие траекторий.

Динамическое подобие состоит в том, что все силы одинаковой природы и их проекции, действующие на любую пару сходственных элементов, отличаются друг от друга в натуральном потоке модели постоянным масштабом , т.е. должны действовать одинаковые по природе силы и при этом выполняются условия

. (3)

Кинематическое и динамическое подобие могут иметь место только при наличии геометрического подобия.

Теория подобия показывает, что все гидродинамически подобные потоки можно описать абсолютно одинаковыми уравнениями и зависимостями, для приведения математического описания к единой форме все геометрические , кинематические и динамические параметры выражают в относительных единицах . Для этого в качестве масштаба измерения в каждом из потоков выбирается некоторый характерный размер ℓ₀ , скорость υ₀ , время t₀ и т.д.

В гидродинамически подобных потоках, где все безразмерные параметры одинаковы, соответственно и все уравнения, представленные в безразмерном виде должны быть одинаковы.

Рассмотрим подробнее динамическое подобие. Движение частиц жидкости , как известно , определяется силами , действующими внутри нее :

F_об – объемными силами ( сила тяжести , подъемная

сила);

F_д – поверхностная сила давления ;

F_ин – сила инерции .

Пренебрегая силами поверхностного натяжения, составим уравнение , выражающее принцип Д’Аламбера для двух подобно перемещающихся элементарных объемов

(4)

Разделим обе части уравнения (4) на Р_инτ

3

Из постулата Ньютона, касательные напряжения , действующие в жидкости равны

, Па (Н/м²) (5)

тогда сила внутреннего трения ( вязкости ) при движении жидкости

, (6)

где - элементарная площадка поверхности

соприкосновения двух слоев , м² ;

- коэффициент динамической вязкости , Паּс ;

- скорость перемещения слоев относительно друг

друга ;

- расстояние площадки от начала координат .

Сила инерции по закону Ньютона

(7)

массу элементарного объема можно выразить

, кг (8)

ускорение , как известно ,

, м/с² (9)

Правую часть уравнения (9) разделим и умножим нa

П

4

ользуясь полученными значениями и , найдем их отношение:

, (10)

т.к. ( линейный размер ) , ( коэффициент кинематической вязкости ) , то уравнение (10) можно преобразовать

, (11)

Данный безразмерный комплекс представляет собой критерий Рейнольдса , физический смысл которого указывает на отношение сил инерции в потоке жидкости к силам вязкости .

Исходя из того , что

, (12)

где - давление на площадке элементарного объема

, найдем отношение

(13)

заменим отношение его конечным значением ,

где - линейный размер

, (14)

Безразмерный комплекс представляет собой критерий Эйлера , физический смысл которого определяется как отношение сил нормального давления к силам инерции.

Приняв в качестве действующих в элементарном объеме силу тяжести

, (15)

найдем отношение

, (16)

Безразмерный комплекс представляет собой критерий Фруда, физический смысл которого определяется как отношение сил инерции к силам тяжести

, (17)

Полученные критерии , и отражают баланс действующих в жидкости сил и по своему физическому смыслу характеризуют соотношение между этими силами.

Следует заметить, что все безразмерные комплексы или числа подобия можно разделить на два вида:

• определяемые – это числа, в которые входят искомые

переменные;

• определяющие – это числа , целиком составленные из

независимых переменных и постоянных величин ,

входящих в условие однозначности .

Т

6

ак, например, при описании нестационарного движения вязкой несжимаемой жидкости в число искомых величин входят проекции скорости , , и величина давления Р. Они будут определяемыми величинами . К числу определяющих безразмерных величин в данном случае можно отнести независимые переменные x , y, z , t и безразмерные комплексы , выраженные числами подобия , и .

Решение гидродинамических задач аналитическим путем или в результате обобщения экспериментальных данных сводится к установлению функциональных зависимостей определяемых параметров от определяющих.

, , )

, , ) (18)

, , )

, , )

Уравнения вида (18) называются уравнениями подобия .