3. Системы координат

Пример. Найти расстояние между точками М₁(1, -2, -3) и М₂(-3, 1, 1). Определить координаты точки С, делящей отрезок М₁М₂ в отношении 2:3.

Решение.

1. Используя формулу

М₁М₂ = ,

получим М₁М₂ = .

2. Координаты точки С определим по формуле вида

,

где .

4. Векторная алгебра

Пример 1. Даны точки М₁(1, -2, -3), М₂(-3, 1, 1). Найти длину вектора .

Решение. Вектор . Следовательно = {-3-1, 1+2, 1+3} ={-4, 3, 4}. Длина вектора находится по формуле a = .

Пример 2. Найти угол φ между векторами и , если М₁(1, -2, -3), М₂(-3, 1, 1), М₃(3, 2, 2).

Решение. Для нахождения cosφ используем формулу

где - скалярное произведение векторов и .

Определим координаты векторов и cosφ:

= (-3-1, 1+2, 1+3) =(-4, 3, 4), = (3-1, 2+2, 2+3) = (2, 4, 5),

,

φ = 87⁰45'54^".

Пример 3. Даны координаты вершин пирамиды А₁(1, -2, -3), А₂(-3, 1, 1), А₃(4, 3, -1), А₄(3, 2, 2). Найти площадь грани А₁ А₂ А₃ и объем пирамиды.

Решение. Площадь треугольника А₁А₂А₃ найдем, используя геометрический смысл векторного произведения векторов

,

где - векторное произведение векторов.

Вначале находим

,

а затем

ед².

Объем пирамиды найдем, используя геометрический смысл смешанного произведения векторов

,

следовательно, ед³.

5. Уравнения линий на плоскости

Прямая на плоскости

Прямую на плоскости можно задать многими способами. При решении задач на прямую часто используются следующие типовые уравнения и соотношения:

1. Уравнения прямой с угловым коэффициентом

,

где k – угловой коэффициент ( , - угол наклона прямой к оси Ox), b – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy.

2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку М(x₀, y₀) c данным угловым коэффициентом k

.

3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂)

.

Заметим, что в случае , уравнение принимает вид . Аналогично, если , уравнение прямой записывается .

4. Расстояние d от точки М₀ до прямой определяется по формуле

.

5. Угол , отсчитываемый против часовой стрелки от прямой до прямой , определяется по формуле

.

Из формулы следует:

1) прямые l₁ и l₂ параллельны, если ;

2) прямые l₁ и l₂ перпендикулярны, если .

6. Уравнения биссектрис углов между прямыми и имеют вид

.

7. Точка пересечения медиан делит любую из них на части в отношении 2:1 (считая от вершины).

Пример. Даны вершины треугольника А(-3,-3), В(2,7) и С(5,1). Требуется написать уравнения сторон треугольника, определить угол А треугольника, найти уравнение медианы АК и высоты АМ.

Рис. 1.

Решение. Чтобы написать уравнение стороны АВ треугольника, используем вид уравнения прямой, проходящей через две точки:

AВ: или у = 2х + 3.

Аналогично

АС: или у = 0,5х -1,5

СВ: или у = -2х +11.

Тогда тангенс угла А определяется по формуле:

, k₂=2, k₁ = 0,5. Следовательно

Ищем уравнение медианы АК. Для этого определяем координаты точки К, учитывая, что отрезок ВС в точке К делится пополам и, следовательно,

АК или

Ищем уравнение высоты АМ, опущенного из вершины А на сторону ВС :

, где .

Следовательно, уравнение АМ: или у - 0,5х +1,5 =0

Линии второго порядка

Ниже приведены канонические уравнения кривых второго порядка с центром симметрии (в случае параболы – вершиной) в начале координат (случай А) и в точке С(x₀, y₀) (случай В).

А В

Окружность
Эллипс
Гипербола
Парабола

Пример 1. Пусть задано уравнение х² + y² - 4x = 0. Является ли это уравнение уравнением окружности и, если да, то каков ее радиус и координаты центра?

Приведем данное уравнение к виду . Выделим полный квадрат относительно х, прибавляя и вычитая число 4

x² + y² - 4x = (x² - 4x + 4) + y² - 4 = 0 или (x - 2)² + y² = 2². х₀ = 2, у₀ = 0, R = 2.

Пример 2. Дано уравнение кривой второго порядка . Определить тип кривой, найти ее параметры и сделать чертеж.

Решение. Сравнивая с табличными данными находим, что это парабола, вершига которой находится в точке С(x₀, y₀) . приводим уравнение параболы к виду .

х₀ = 0, у₀ = 2, р = 1. Чертеж

Рис. 2.