2.2. Класифікація і властивості похибок вимірювань
Абсолютні похибки вимірювань поділяють на грубі, систематичні і випадкові.
Грубі похибки виникають при неуважному відношенні до вимірювань, або при недостатній кваліфікації працюючого. Вони значно відрізняються від інших значень і вибраковуються.
Систематичні похибки можуть обумовлюватися зіпсованим приладом, дією кліматичних умов, зміною розміру обєкту, який вимірюється, та іншими факторами.
Необхідно встановити причини появи систематичних похибок і закони їхньої дії, потім визначити відповідні поправки. Перед вимірюваннями прилади перевіряють і визначають в який мірі вони задовольняють заплановані вимоги. Поправки уводять до результатів вимірювань, а прилади, якщо вони не в повній мірі відповідають вимогам, ремонтують або замінюють.
Для виключення або зменшення впливу систематичних похибок застосовуються спеціально розроблені способи і заходи вимірювань, а тому систематичні похибки ретельно вивчають.
Випадкові похибки обумовлюються впливом факторів, які безперервно змінюються у процесі вимірювань (освітленість, температура, сила вітру, тощо) і врахувати їх неможливо.
У малій кількості вимірювань закономірність появи випадкових похибок і їхні характеристики не виявляються. Властивості цих похибок виявляються тільки при відносно великій кількості повторень вимірювання.
Таблиця 3
Вихідні дані до виконання завдання
|
Варіанти |
||||
|
00 - 19 |
20 - 39 |
40 - 59 |
60 - 79 |
80 - 99 |
|
Результати вимірювань, , м |
||||
1 |
180,01 |
250,02 |
224,98 |
150,01 |
200,02 |
2 |
179,98 |
249,99 |
225,01 |
149,98 |
199,99 |
3 |
180,00 |
250,03 |
224,99 |
149,99 |
199,98 |
4 |
179,99 |
250,01 |
225,00 |
150,02 |
200,01 |
5 |
180,02 |
249,97 |
225,02 |
149,99 |
199,99 |
6 |
180,01 |
249,99 |
224,98 |
150,01 |
200,02 |
7 |
179,99 |
250,00 |
224,99 |
150,00 |
200,01 |
8 |
180,03 |
250,02 |
224,97 |
149,99 |
199,96 |
9 |
179,98 |
249,98 |
225,03 |
150,02 |
199,99 |
10 |
180,01 |
250,01 |
224,99 |
149,99 |
200,02 |
11 |
179,99 |
250,02 |
224,96 |
150,01 |
199,98 |
12 |
180,02 |
249,96 |
225,01 |
149,98 |
200,01 |
13 |
179,97 |
249,98 |
224,98 |
150,00 |
200,03 |
14 |
179,98 |
250,01 |
225,02 |
150,01 |
199,99 |
15 |
180,02 |
249,99 |
224,99 |
149,99 |
199,98 |
16 |
180,01 |
250,02 |
225,01 |
150,03 |
200,00 |
17 |
179,99 |
250,01 |
225,02 |
150,01 |
200,01 |
18 |
180,02 |
249,98 |
225,00 |
149,96 |
199,99 |
19 |
179,97 |
249,96 |
224,96 |
149,97 |
200,03 |
20 |
180,03 |
250,04 |
250,03 |
150,02 |
199,96 |
Для заданого ряду похибок вимірювань необхідно визначити середню квадратичну і граничну похибки, а також перевірити властивості випадкових похибок вимірювань.
Для прикладу вирішимо це завдання, використовуючі подібний ряд похибок вимірювань.
Таблиця 4
Визначення властивостей похибок вимірювань
№ вимірювання |
Результати вимірювання |
= L - Х |
2 |
1 |
195,02 |
+2 |
4 |
2 |
195,01 |
+1 |
1 |
3 |
194,99 |
-1 |
1 |
4 |
195,00 |
0 |
0 |
5 |
194,98 |
-2 |
4 |
6 |
195,01 |
+1 |
1 |
7 |
195,02 |
+2 |
4 |
8 |
194,97 |
-3 |
9 |
9 |
194,99 |
-1 |
1 |
10 |
195,01 |
+1 |
1 |
11 |
194,98 |
+2 |
4 |
12 |
195,02 |
+2 |
4 |
13 |
194,99 |
-1 |
1 |
14 |
195,01 |
+1 |
1 |
15 |
195,02 |
+3 |
9 |
16 |
194,98 |
-2 |
4 |
17 |
194,99 |
-1 |
1 |
18 |
195,01 |
+1 |
1 |
19 |
194,98 |
-2 |
4 |
20 |
195,02 |
+2 |
4 |
Дійсне значення Х = 195,00 |
+16 -15 |
58 |
|
Середня квадратична похибка вимірювань визначається за формулою:
m2
=12
+ 22
+ 32
+
+ n2
/ n, або
,
де
- похибка одного вимірювання;
n - кількість вимірювань.
Тоді
=
= 1,70 см.
Значення середньоквадратичної похибки m в даному прикладі дорівнює 1,70 см.
При виконанні геодезичних вимірювань часто користуються формулою граничної похибки mграничне = 2m, або навіть mграничне = 3m. У нашому випадку 2m = 1,70 2 = 3,40 см, а 3m = 3 1,70 = 5,10 см.
Використовуючі формулу mграничне = 2m, перевіримо на даному ряді властивості випадкових похибок. Найбільша похибка у наведеному прикладі дорівнює 3 см і вона по модулю не перевищує граничну похибку 2m яка дорівнює 3,40 см. Цим підтверджується перша властивість випадкових похибок: випадкові похибки не можуть перевищувати за абсолютним значенням визначеної межі.
Позитивних похибок в даному ряду вимірювань 10, відємних 9, тобто кількість позитивних і відємних похибок приблизно однакова, а це підтверджує другу властивість випадкових похибок: в масиві вимірювань позитивні і відємні похибки зустрічаються порівну.
В нашому прикладі малі похибки (які не перевищують m) зустрічаються в 10 випадках, тобто в половині вимірювань, а похибок, які не перевищують 2m тобто 3,40 см взагалі немає то це підтверджує третю властивість випадкових похибок: малі за абсолютним значенням похибки зустрічаються значно частіше, ніж великі.
Четверта властивість випадкових похибок в тому, що при необмеженій кількості вимірювань середнє арифметичне з випадкових похибок прямує до ноля, тобто
Lim
Середнє арифметичне. Якщо є ряд рівноточних вимірювань однієї і тієї ж величини, то середнє арифметичне цієї величини буде визначатися за формулою:
,
де
-
одержані значення величини;
n - кількість вимірювань.
При визначенні середнього арифметичного користуються наближеним значенням і різницею.
Наприклад. Необхідно визначити середнє арифметичне з чисел: 250,06; 249,96; 250,08; 250,05; 249,94; 250,06. За наближену величину можна взяти L0 = 249,92. Різниці L = Lі - L0 будуть: 0,14; 0,00; 0,10; 0,16; 0,13; 0,11; 0,02; 0,14.
Середнє арифметичне різниць:
Середнє арифметичне значення результатів вимірювань буде:
