Свойства плана скоростей

Рассматривая схему механизма (рис. 2) и план скоростей (рис. 3), можно выявить интересные свойства плана скоростей, имеющие практическое приложение.

1. Каждое подвижное звено механизма изображается на плане скоростей одноименным подобным контуром, повернутым относительно звена на 90°, а все неподвижные шарниры механизма — его полюсом.

Рис.4. Изображающие свойства плана скоростей.

Действительно, шатун 2, взятый в виде жесткого треугольника ABD, изображается на плане скоростей одноименным заштрихованным треугольником abd, стороны которого перпендикулярны (по построению плана скоростей) соответствующим сторонам треугольника;, ABD. Шатун DE, взятый в виде прямой линии на схеме механизма,, изображается одноименным прямолинейным отрезком , перпендикулярным звену DE.

Неподвижные шарниры механизма О₁ и О₂ изображаются на плане скоростей его полюсом, кривошип О₁А —отрезком ^ звену О₁А, а коромысло ВО₂ — отрезком , ^ звену ВО₂.

Это свойство плана скоростей, носящее название теоремы подобия, позволяет легко и просто находить скорости любых точек звеньев.

Возьмем механизм, представленный на рис. 4, а и построим для него план скоростей (рис. 4,б). Допустим, что сторона СB шатуна 2 имеет продолжение BD. Тогда для определения скорости точки D, на основании теоремы подобия, необходимо на плане скоростей продолжить отрезок за точку b и отложить на нем величину , определяемую из пропорции

=

Соединив точку d с полюсомu, найдем отрезок , изображающий скорость V_D точки D механизма, в масштабе плана скоростей. Сравнивая треугольник аbс плана скоростей (рис. 4,б) с треугольником АВС схемы механизма (рис. 4, а), устанавливаем, что они не только подобны по перпендикулярности сторон, но и сходственно расположены. Сходственным называется такое расположение подобных фигур, когда обвод контуров этих фигур в определенном направлении, например, в направлении часовой стрелки, дает на обеих фигурах одинаковую последовательность букв, расставленных в вершинах их равных углов и служащих для обозначения этих контуров. Например, обвод контура треугольника АВС на схеме механизма в направлении часовой стрелки дает последовательность букв АСВА; ту же последовательность букв дает обвод треугольника abc по часовой стрелке на плане скоростей, а именно асbа.

На рис. 4, б пунктиром изображен треугольник ac'b, тоже подобный треугольнику АСВ на рис. 4, а, так как три стороны ê ac'b перпендикулярны трем сторонам ê ACB, но в данном случае ê ac'b не является сходственно расположенным по отношению к ê ACB. Обвод контура треугольника ac'b по часовой стрелке дает последовательность букв abc'а, т. е. не совпадает с последовательностью букв ê АСВ при обводе также по часовой стрелке.

На основании рассмотренного примера можно сделать очень важный вывод, облегчающий нахождение скоростей точек механизма. Если с помощью плана скоростей найдены скорости двух точек звена, то скорость любой другой точки этого звена может быть найдена без составления уравнений скоростей на основании теоремы подобия. Для этого необходимо на изображающем отрезке или контуре взять соответственно расположенную точку и соединить ее с полюсом плана скоростей. Найденный отрезок будет представлять абсолютную скорость данной точки в масштабе к_u плана скоростей. Очевидно, не требуется составлять уравнения скоростей и для точки С звена АСВ, если известны скорости точек А и В. Достаточно на отрезке плана скоростей построить подобный и сходственно расположенный треугольник abc.

2. Отрезки плана скоростей, проходящие через полюс u, изображают абсолютные скорости точек механизма. Абсолютные скорости всегда направлены от полюса. Отрезки плана скоростей, не проходящие через полюс, изображают относительные скорости (в данном случае вращательные), направленные всегда к той букве плана скоростей, которая стоит первой в обозначении скорости. Например, скорость V_BA направлена от точки а к точке b (рис. 4,6); скорости V_CA и V_CB направлены от точек а и b к точке с.

3. Как уже отмечалось, неподвижные точки механизма, скорости которых равны нулю, изображаются на плане скоростей полюсом u. Звено, совершающее сложное плоское движение, например звено АСВ (рис. 4, а), будет иметь абсолютный мгновенный центр вращения P₂₄, скорость которого равна нулю. На плане скоростей этот мгновенный центр также изображается полюсом. Если на стороне AB треугольника АСB (рис. 4, а) построить êABu₀, подобный êabu плана скоростей и сходственно с ним расположенный, то вершина u₀ треугольника будет определять мгновенный центр вращения.

Подвижные шарнирные точки механизма А, В, С, D изображаются на плане скоростей концами векторов абсолютных скоростей, т. е. точками а, b, с и d.

4. План скоростей дает возможность находить касательные и нормали к траекториям точек механизмов. Так, например, скорость точки С показывает направление касательной t—t (рис. 4, а) к траектории этой точки, а перпендикуляр к скорости определяет направление нормали п—п. Точно так же могут быть определены касательная и нормаль к траектории движения точки D.

ПОСТРОЕНИЕ ПЛАНА УСКОРЕНИЙ МЕХАНИЗМА

План ускорений построим для механизма (рис. 2), находящегося в положении O₁A₁B₁O₂D₁E₁.

Располагая всеми необходимыми данными для вычисления величины ускорения точки A кривошипа при его вращении вокруг точки O₁, построение плана ускорений начнем с нанесения ускорений этой точки. При равномерном вращении кривошипа O₁A (w₁ = const) точка А будет обладать только нормальным ускорением. Если кривошип будет вращаться неравномерно (w₁ ¹ const), то законы изменения угловой скорости w₁ и углового ускорения e₁ должны быть заданы. В этом случае точка А кривошипа O₁A, кроме нормального ускорения, будет обладать и касательным ускорением t_A = O₁Ae₁. В нашем примере будем считать w₁ = const и e₁ = 0. Численное значение ускорения точки А определим по формуле

W_A = n_A = O₁Aw , (17)

где O₁A — длина кривошипа, в м;

w₁ — угловая скорость вращения кривошипа, в рад сек. Направлено это ускорение, по радиусу вращения О₁А₁ от точки А₁ к центру вращения, т. е. к точке О₁.

Рис. 5. План ускорений для первого положения механизма, изображенного на рис. 2

Вычисленное нормальное ускорение точки А изобразим на плане ускорений отрезком произвольной длины, который отложим от полюса w так, чтобы он был параллелен положению кривошипа О₁А₁ и имел направление от точки А₁ к точке О₁ (рис. 7).

Отрезок является масштабным значением величины ускорения точки. Величина масштаба плана ускорения найдется из равенства

= , (18)

в котором отрезок должен быть выражен в миллиметрах. Ускорение точки В механизма найдем на основании следующих соображений. Абсолютное движение точки В есть вращательное движение вокруг неподвижного шарнира О₂, которое в общем случае совершается с переменной угловой скоростью w₃, т. е. в этом движении точка В будет обладать как нормальным n_BO2, так и касательным ускорением t_BO2. Следовательно, для точки В можем написать уравнение

= + (19)

где W_B — вектор полного ускорения точки В в абсолютном движении.

Имея план скоростей для первого положения (рис. 3), можем вычислить n_BO2 по формуле

n_BO2 = , (20)

где V_B — скорость точки В в ее вращательном движении вокруг O₂, в м/сек;

ВО₂ —длина коромысла, в м.

Пользуясь масштабными значениями скорости V_B и коромысла ВО₂, можно выражение (20) представить в виде

n_BO2 = . (21)

Вычисленное нормальное ускорение точки В должно быть отложено на плане ускорений в виде отрезка в миллиметрах. Величину этого отрезка найдем как частное от деления ускорения n_BO2, выраженного в м/сек, на величину масштаба плана ускорений, т. е

= = . (22)

Таким образом, чтобы определить масштабное значение нормального ускорения точки в данном ее движении, необходимо взять с плана скоростей соответствующий отрезок ее линейной скорости в данном движении, измеренный в миллиметрах, возвести его в квадрат и поделить на масштабное значение радиуса вращения, взятое тоже в миллиметрах. Частное от деления этих двух величин необходимо умножить на коэффициент

К = . (23)

Определив величину отрезка n_BO2 по формуле (22), нанесем его на план ускорений в виде отрезка , отложив его от полюса w так, чтобы он был параллелен коромыслу ВО₂ в первом его положении и имел направление, совпадающее с направлением нормального ускорения n_BO2, на схеме механизма, т. е. был бы направлен от точки В₁ к точке О₂ (рис. 5).

Касательное ускорение t_BO2 неизвестно по величине, так как неизвестно угловое ускорение e₃ коромысла BO₂, при его вращении вокруг точки O₂, но известна его линия действия. t_BO2 направлено по касательной к траектории движения точки или, что все равно, перпендикулярно радиусу вращения, т. е. в данном случае оно будет перпендикулярно положению B₁O₂ коромысла. На этом основании через конец отрезка на плане ускорений проведем линию действия t_BO2 ^ положению В₁O₂ коромысла, или, что то же самое, перпендикулярную отрезку нормального ускорения (рис. 5).

С другой стороны, движение точки В можно рассматривать как составное, складывающееся из переносного поступательного движения звена АВ вместе с полюсом А и относительного поворота его вокруг полюса. В этом случае, как известно из теоретической механики,

= +

или в наших обозначениях

= + . (24)

В общем случае поворот звена АВ вокруг полюса А совершается с переменной угловой скоростью w₂, т. е. ускорение W_BA будет складываться из нормального n_BA и касательного t_BA ускорений, т. е.

= + . (25)

Следовательно, уравнение (24) примет окончательный вид

= + + . (26)

Первое слагаемое правой части уравнения, т. е. ускорение W_A, нанесено на плане ускорений в виде . Величину второго слагаемого n_BA находим с помощью плана скоростей по уравнению

n_BA = (27)

или, пользуясь масштабными значениями скорости V_BA и длины шатуна АВ, по аналогии с равенством (22), можем сразу определить величину масштабного значения этого ускорения как отрезка

= (28)

где — отрезок относительной скорости точки В в ее движении вокруг полюса А, взятый с плана скоростей, в мм;

—значение длины шатуна АВ, взятое со схемы механизма, в мм.

Определив величину нормального ускорения n_BA, наносим его в виде отрезка на план ускорений, откладывая от точки а так, чтобы он был || стороне А₁В₁ звена 2 и имел направление от точки В₁ к точке А₁.

Третье слагаемое правой части уравнения (26), т. е. касательное ускорение t_BA точки В, при ее повороте вокруг полюса, по величине нам неизвестно, но линия действия его известна; в данном случае она ^ положению стороны АВ ê ADB. На этом основании через конец на плане ускорения проведем линию действия t_BA, ^ отрезку нормального ускорения. Точка пересечения линий действия t_BO2 и t_BA (точка b на плане ускорений) определяет величины и масштабных значений этих ускорений и одновременно масштабное значение полного ускорения точки В в виде отрезка , который является геометрической суммой ускорения n_BO2 и t_BO2, в соответствии с уравнением (19), и одновременно геометрической суммой ускорений W_A, n_BA и t_BA, в соответствии с уравнением (26).

Значение ускорения W_B может быть найдено по выражению

W_B = . (29)

Величины t_BA и t_BO2 найдем из уравнений

t_BA = , (30)

t_BO2 = bк_w (31)

Оба касательные ускорения направлены к точке b плана ускорений (рис. 5). Сложив геометрически и найдем , являющийся масштабным значением W_BA, которое определим из равенства

W_BA = к_w (32)

Перейдем к определению ускорения шарнирной точки D звена 2. Рассматривая абсолютное движение точки D как составное, складывающееся из переносного поступательного движения звена 2 вместе с полюсом А и относительного поворота его вокруг полюса, можем написать для точки D уравнение

. (33)

Принимая за полюс точку В и рассматривая абсолютное движение точки D как .составное, складывающееся из переносного поступательного движения звена 2 вместе с полюсом В и относительного поворота его вокруг полюса, можем написать для точки D второе уравнение

. (34)

В соответствии, с уравнением (33) от точки а на плане ускорений отложим отрезок нормального ускорения n_DA, величину которого найдем из равенства

. (35)

где — отрезок относительной скорости точки D в ее движении вокруг полюса А, взятый с плана скоростей, в мм;

DA — значение длины стороны AD ê ADB, взятое со схемы механизма, в мм;

К= .

Направление должно совпадать с направлением нормального ускорения n_DA на схеме механизма, т. е. этот отрезок должен иметь направление от точки D к точке А—параллельно стороне D₁А₁ звена 2. Через конец отрезка an_da проведем линию действия третьего слагаемого уравнения (33), т. е. линию действия касательного ускорения t_DA, перпендикулярную к отрезку нормального ускорения.

В соответствии с уравнением (34) от точки b на плане ускорений отложим отрезок нормального ускорения n_DB, величину которого найдем из равенства

, (36)

где — отрезок относительной скорости точки D в ее движении вокруг полюса В, взятый с плана скоростей, в мм;

— значение длины стороны DB треугольника, взятое со схемы механизма, в мм.

Направление отрезка должно совпадать с направлением ускорения n_DB на схеме механизма, т. е. этот отрезок должен иметь направление от точки D₁ к точке В₁ — параллельно стороне D₁B₁. Через конец проведем линию действия третьего слагаемого уравнения (34), т. е. линию действия касательного ускорения t_DB, перпендикулярную отрезку нормального ускорения.

Точка пересечения линий действия t_DA и t_DB (точка d на плане ускорений) определяет величины и масштабных значений этих ускорений и одновременно масштабное значение величины полного ускорения точки D в виде отрезка , который является геометрической суммой W_A, n_DA и t_DA, в соответствии с уравнением (33), и одновременно геометрической суммой W_B, n_DB и t_DB в соответствии с уравнением (34). Значение ускорения W_D может быть найдено из выражения

W_D = (37)

Сложив геометрически n_DA и t_DA, найдем отрезок , являющийся масштабным значением W_DA, определяемым из равенства

W_DA = (38)

Точно так же, сложив геометрически n_DB и t_DB, найдем отрезок , являющийся масштабным значением W_DB, величину которого вычислим из равенства

W_DB = . (39)

а величины t_DA и t_DB — из выражений

t_DA = (40)

t_DB = (41)

Оба касательные ускорения направлены к точке d плана ускорений (рис. 5).

Построение плана ускорений для данного положения механизма закончим определением ускорения точки Е, абсолютное движение которой есть прямолинейное движение по линии х—х. Движение точки Е можно рассматривать как составное, складывающееся из переносного поступательного движения шатуна DE вместе с полюсом D и относительного поворота его вокруг полюса. В этом случае для точки Е можно написать уравнение

(42)

Первое слагаемое правой части уравнения, т. е. ускорение W_D имеется на плане ускорений в виде отрезка . Величину второго слагаемого n_ED найдем с помощью плана скоростей по уравнению

, (43)

где — отрезок относительной скорости точки E в ее движении вокруг полюса D, взятый с плана скоростей, в мм;

— значение длины шатуна DE, взятое со схемы механизма, в мм.

Отложим n_ED в виде отрезка от точки d плана ускорений параллельно положению D₁E₁ звена 4 (рис.2) так, чтобы он имел направление, совпадающее с направлением ускорения n_ED т. е. от точки E₁ к точке D₁. Величина третьего слагаемого правой части уравнения (42) нам неизвестна, но известна его линия действия. Вектор касательного ускорения t_ED ^ вектору нормального ускорения n_ED, т. е. ^ к положению D₁E₁ шатуна 4. На этом основании через конец проводим линию действия t_ED ^ . Через полюс w плана ускорений проводим линию действия ускорения W_E параллельную линии х—х на схеме механизма (рис. 2). Точка пересечения линий действия касательного t_ED и полного ускорений точки Е (точка е на плане ускорений) определяет величины и этих ускорений. Значения ускорений найдем из выражений

t_ED = (44)

W_E = (45)

Отрезок , как геометрическая сумма слагаемых W_D, n_ED и t_ED, имеет направление от полюса w к точке е. t_ED, как третье слагаемое уравнения (42), направлено к точке е плана ускорений.

Совершенно аналогично строятся планы ускорений для других его семи положений (см. приложение 1). Имея план линейных ускорений точек механизма, можно найти угловые ускорения звеньев в данном положении механизма. Так, например, если требуется определить угловое ускорение e₂ звена 2 в его относительном вращательном движении вокруг полюса А, то для этого достаточно поделить значение t_BA на величину радиуса вращения, т. е. на длину стороны АВ ê ADB, и тогда

e₂ = (46)

или, пользуясь масштабными значениями.

e₂ = (47)

Найденное ускорение e₂ является не только относительным угловым ускорением, но и абсолютным, ввиду того что в переносном движении звена 2 вместе с полюсом А его w_пер = 0 и e_пер = 0.

Чтобы установить направление углового ускорения e₂, следует приложить вектор t_ВА к точке В на схеме механизма в данном его положении. Угловое ускорение будет направлено в ту же сторону, в какую t_ВА стремится вращать звено 2 вокруг полюса А. В данном случае (в первом положении механизма) e₂ направлено по часовой стрелке.

Для определения величины углового ускорения e₃ коромысла BO₂ при его повороте вокруг шарнира О₂ совершенно аналогично можем написать выражение

e₃ = (48)

Перенеся вектор t_BO2 в точку В на схеме механизма, видим, что он стремится поворачивать коромысло ВО₂ против часовой стрелки. Следовательно, и угловое ускорение e₃ направлено против часовой стрелки.

Соответственно угловое ускорение e₄ шатуна DE в его относительном движении вокруг точки D вычислим по выражению

e₄ = (49)

Как видно из плана ускорений, e₄ направлено против часовой стрелки.