1.2. Статистическая оценка параметров

предполагаемого закона распределения

Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Изначально закон распределения генеральной совокупности неизвестен, но в результате графической обработки статистических данных можно выдвинуть гипотезу о законе распределения.

Согласно вероятностному смыслу гистограммы линия, проведенная через середины верхних оснований прямоугольников или полигон относительных частот, напоминает по форме график плотности вероятности . Приближенно это график для непрерывной величины, представленной генеральной совокупностью.

Следует сравнить полигон относительных частот изучаемой случайной величины с известными из теории вероятностей графиками основных распределений (рис. 1–3). Выбрать похожую по форме и выдвинуть гипотезу о законе распределения исследуемой непрерывной случайной величины.

Допустим, выдвинута гипотеза о том, какое именно распределение имеет признак. Естественно, возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распределение.

Например, если наперед известно, что признак имеет равномерное распределение, то необходимо оценить параметры a и b, которыми это распределение определяется и которые выражаются через математическое ожидание М(Х) и среднее квадратическое отклонение σ_х:

Если же есть основания считать, что изучаемый признак распределен в генеральной совокупности нормально, то необходимо оценить (приближенно найти) два параметра m и σ, которые совпадают с математическим ожиданием М(Х) и средним квадратическим отклонением σ_х, соответственно:

Если же есть основания считать, что признак имеет показательное распределение, то необходимо оценить параметр λ, которым это распределение определяется и которое выражается через математическое ожидание:

.

Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь данные выборки, например, значения количественного признака х₁, х₂ ..., х_n, полученные в результате п наблюдений (здесь и далее наблюдения предполагаются независимыми). Через эти данные и выражают оцениваемый параметр.

Можно сказать, что найти статистическую оценку неизвестного параметра теоретического распределения – это значит найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая и дает приближенное значение оцениваемого параметра.

В результате обработки статистических данных оцениваются различные выборочные характеристики случайной величины Х: выборочное среднее , выборочная дисперсия , выборочное среднее квадратическое отклонение . Эти характеристики используются в качестве приближенных значений неизвестных числовых характеристик изучаемой случайной величины Х (неизвестных генеральных характеристик). Так, выборочное среднее используется как приближенное значение математического ожидания М(Х) (генеральной средней), а выборочная дисперсия – как приближенное значение генеральной дисперсии D(X).

Выборочная характеристика, используемая в качестве приближенного значения неизвестной генеральной характеристики, называется ее точечной статистической оценкой.

Для того чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям. Рассмотрим эти требования.

Пусть θ* есть статистическая оценка неизвестного параметра θ теоретического распределения.

Несмещенной называют статистическую оценку θ*, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру θ при любом объеме выборки:

Смещенной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки п) имеет наименьшую возможную дисперсию.

При рассмотрении выборок большого объема (п велико) к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при стремится к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной.

Оказывается, что выборочная средняя является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной средней М(Х).

Если в качестве оценки генеральной дисперсии D(X) принять выборочную дисперсию , то эта оценка будет приводить к систематическим ошибкам, давая заниженное значение генеральной дисперсии. Объясняется это тем, что выборочная дисперсия , как можно доказать, является смещенной оценкой D(X), другими словами, математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дисперсии, а равно

.

Легко «исправить» выборочную дисперсию так, чтобы ее математическое ожидание было равно генеральной дисперсии D(X). Достаточно для этого умножить на дробь .

Сделав это, получим «исправленную дисперсию», которую обычно обозначают через s²:

,

при этом является также состоятельной оценкой генеральной дисперсии D(X).

Для оценки же среднего квадратнческого отклонения генеральной совокупности используют «исправленное» среднее квадратическос отклонение, которое равно квадратному корню из исправленной дисперсии: .

Для записи гипотетических функций распределения необходимо заменить в соответствующих аналитических формулах предполагаемого распределения параметры распределения их точечными оценками.

С помощью формул, соответствующих гипотетическому закону распределения, можно вычислить теоретические вероятности попадания случайного признака в каждый интервал.

Построив на одном графике полигон относительных частот статистического распределения и гипотетическую теоретическую плотность распределения, можно сравнить эти кривые.