- •Методичні рекомендації до вивчення дисціпліни "Комп’ютерне моделювання електронних схем, конструкцій та технологій електронних апаратів"
- •1.Загальні питання
- •2.Визначення полюсів схемних функцій
- •2.1.Метод дихотомії
- •2.2.Метод хорд
- •2.3.Метод дотичних
- •2.4.Пошук комплексних коренів нелінійних рівнянь
- •3.Визначення коефіціентів чутливості
- •3.1.Розрахунок перших частинних похідних функції
- •3.1.1.Схема 2т чисельного диференціювання
- •3.1.2.Схема 3т чисельного диференціювання
- •3.2.Розрахунок власних частинних похідних другого порядку
- •3.3.Розрахунок взаємних похідних другого порядку
- •4.Визначення міри відповідності характеристик реа
- •4.1.Метод прямокутників
- •4.2.Метод трапецій
- •4.3.Метод Симпсона
- •5.Модедювання радіоелектронних апаратів системами рівнянь
- •5.1.Метод Гауса
- •5.1.1.Розв’язання систем алгебраїчних рівнянь методом Гауса
- •5.1.2.Обчислення визначника матриці методом Гауса
- •5.1.3.Обернення матриці методом Гауса
- •5.2.Метод Жордана
- •5.2.1.Обернення матриці методом Жордана
- •5.3.Метод lu-факторизації
- •5.4.Метод опорного елементу
- •6.Ітераційні методи розвяЗувАння систем лінійних рівнянь
- •6.1.Метод Якобі
- •6.2.Метод Гауса-Зейделя
- •6.3.Метод послідовної верхньої релаксації
- •7.Моделюванні статичного режиму радіоелектронних засобів
- •7.1.Метод простої ітерації
- •7.2.Метод Ньютона
- •2.3 Метод продовження параметру
- •8.Інтерполяція та наближення кривими
- •8.1.Метод невизначених коефіціентів
- •8.2.Регресійний аналіз. Метод найменших квадратів
- •8.2.1.Лінійна регресія
- •8.2.2.Квадратична регресія
- •9.Розв’язання звичайних диференційних рівнянь
- •9.1.Постановка задачі
- •9.2.Метод Ейлера
- •9.3.Метод Ейлера-Коші
- •9.4.Метод Рунге-Кутта
- •Перелік літератури
4.2.Метод трапецій
Для зменшення методичної похибки - апроксимація функції прямою лінією (заміна криволінійної трапеції прямолінійною) [2, 6]. В цьому випадку, площа елементарної прямолінійної трапеції (рис.4.3,а):
Ітр = [f(a) + f(b)](b-а) / 2. |
(4.3) |
|
|
|
|
Рис.4.3. До методу трапецій (а) та Симпсона (б). |
|
Якщо інтервал інтегрування розбито на n підінтервалів з відліками функції yi (і = 0, 1, ..., n), то загальний інтеграл визначають за формулою:
. |
(4.4) |
Задача 4.2. Проінтегрувати функцію f = x2 на інтервалі [0, 1] методом трапецій з розбивкою на 2 підінтервала.
Розв’язок. Результати розрахунків наведені в таблиці. У відповідності до (4.4):
При цьому, відносна похибка розрахунку складає:
.
Похибка розрахунку визначеного інтеграла методом трапецій значно меньша похибки метода прямокутників з вибором відліку функції на межах та співвимірна з похибкою метода прямокутників при виборі відліку функції в середині підінтервала інтегрування.
Фрагмент програми Trap розрахунку визначенного інтеграла методом трапецій наведено нижче .
h:=(b-a)/n; x:=a+h; I1:=(F(a)+F(b))/2; for i:=1 to n-1 do begin I1:=I1+F(x); x:=x+h; end; I1:=I1*h; writeln(I1:12:5); |
Результати розрахунку визначеного інтеграла методом трапецій для різної кількості n = 10, 100, 1000 підінтервалів інтегрування наведені в таблиці.
n |
x |
Значення інтеграла |
Відносна похибка розрахунків |
10 |
0.100000 |
0.33500 |
0.00500 |
100 |
0.010000 |
0.33335 |
0.00005 |
1000 |
0.001000 |
0.33333 |
0.00000 |
Значення відносної похибки близьке до похибки методу прямокутників з вибором відліку функції у середині підінтервала.
4.3.Метод Симпсона
Метод Симпсона [2, 6] грунтується на нелінійній (квадритичній) апроксимації функції на відрізку [х0, х2], що в середині має точку х1 (див. рис.4.2). Елементарний інетеграл від функції шукають у вигляді полінома другого порядку y = ax2 + bx + c.
Відповідно до методу невизначених коефіціентів для значень 0, h, 2h аргумента значення коефіціентів визначаються через розвязання системи рівнянь:
-
4h2
2h
1
a
y2
h2
h
1
b
=
y1
.
0
0
1
c
y0
Якщо вибрані точки не співпадають (h 0), то визначник матриці Вандермонда = 4h2h - 2hh2 = 2h3 0 і система рівнянь має розв’язок:
|
y2 |
2h |
1 |
|
|
|
|
|
а = |
y1 |
h |
1 |
/ = |
y2 h + y0 2h - y0 h – y12h |
= |
y0 - 2y1 + y2 |
. |
|
y0 |
0 |
1 |
2h3 |
2h2 |
|
4h2 |
y2 |
1 |
|
|
|
|
|
b = |
h2 |
y1 |
1 |
/ = |
y14h2 + y0h2 - y04h2 – y2h2 |
= |
-3y0 + 4y1 - y2 |
. |
|
0 |
y0 |
1 |
2h3 |
2h |
|
4h2 |
2h |
y2 |
|
|
|
c = |
h2 |
h |
y1 |
/ = |
y04h3 – y02h3 |
= y0. |
|
0 |
0 |
y0 |
2h3 |
Невизначений інтеграл від параболічної функції в інтервалі [0, 2h]:
Складові визначеного інтегралу від параболи в межах від 0 до 2h:
Таким чином, значення елементарного інтеграла від криволінійної трапеції, інтерпольованої параболою, визначається формулою:
Підсумовування трьох криволінійних трапецій показує певну закономірність у чергуванні коефіцієнтів при відліках функції:
S1 = (y0 + 4y1 + y2)
S2 = (y2 + 4y3 + y4)
S3 = (y4 + 4y5 + y6)
S1 +S2 +S3 = 1y0 +4y1 +2y2 +4y3 +2y4 + 4 y5 +1 y6.
Таким чином, загальне значення ІС визначеного інтегралу за методом Симпсона для n=2m (n завжди парне) підінтервалів визначається формулою:
ІС = (у0 + 4у1 + 2у2 + 4у3 + 2у4 + ... + 4у2m-1 + у2m). |
(4.5) |
Задача 4.3. Проінтегрувати функцію f = x2 на інтервалі [0, 1] методом Симпсона з розбивкою на 2 підінтервала.
Розвязок. У відповідності до (4.5):
ІС = [f(a) + 4 f(a+h) + f(b)] h/3 = [0 + 4 ¼ + 1] 0.5 / 3 = 1/3.
Аналітичне значення інтегралу у межах від 0 до 1:
.
Таким чином, методична похибка інтегрування квадратичної функції за методом Симпсона дорівнює 0.
Задача 4.4. Проінтегрувати за методом Симпсона функцію у=х2 в інтервалі [0, 6] з кроком h=1.
Розв’язок. Результати попередніх розрахунків наведені в таблиці:
х |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
у = х2 |
0 |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
36 |
k |
1 |
4 |
2 |
4 |
2 |
4 |
1 |
y*k |
0 |
4 |
8 |
36 |
32 |
100 |
36 |
Таким чином, розраховане за методом Симпсона значення інтегралу
Аналітичне значення інтегралу у межах від 0 до 6
.
Таким чином, чисельне інтегрування квадратичної функції з великим кроком за методом Симпсона методичної похибки не дало.
Задача 4.5. Проінтегрувати за методом Симпсона функцію у=х4 в інтервалі [0, 6] з кроком h=1.
Розв’язок. Результати попередніх розрахунків наведені в таблиці:
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
y=х4 |
0 |
1 |
16 |
81 |
256 |
625 |
1296 |
k |
1 |
4 |
2 |
4 |
2 |
4 |
1 |
y*k |
0 |
4 |
32 |
324 |
512 |
2500 |
1296 |
Значення інтегралу за методом Симпсона
Аналітичне значення інтегралу у межах від 0 до 6 складає
Для заданої біквадратної функції чисельне інтегрування за методом Симпсона дало методичну похибку 0.05%.
Фрагмент програми Symp розрахунку визначенного інтеграла методом Симпсона наведено нижче.
x:=a+h; { 1. Розрахунок суми непарних складових} s4:=0; while x<b do begin s4:=s4+F(x); x:=x+2*h; end; x:=a+2*h; { 2. Розрахунок суми парних складових} s2:=0; і:=2;
while і<n do begin s2:=s2+F(x); x:=x+2*h; i:=i+2 end; I1:=(F(a)+4*s4+2*s2+F(b))*h/3; { 3. Розрахунок інтеграла } writeln(I1:12:5); |
Результати інтегрування функції f = x4 на інтервалі [0, 1] методом Симпсона за допомогою програми Symp з розбивкою на 2, 4, ... 32 підінтервали наведені в таблиці.
n |
x |
Значення інтеграла |
Відносна похибка розрахунків |
2 |
0.500000 |
0.20833 |
0.04167 |
4 |
0.250000 |
0.20052 |
0.00260 |
8 |
0.125000 |
0.20003 |
0.00016 |
16 |
0.062500 |
0.20000 |
0.00001 |
32 |
0.031250 |
0.20000 |
0.00000 |
Результати засвідчують, що вже для числа підінтервалів 16 відносна методична похибка інтегрування функції f = x4 не перевищує 10-5.