Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
КМСхКТ_мет_2012.doc
Скачиваний:
11
Добавлен:
19.11.2019
Размер:
1.81 Mб
Скачать

4.2.Метод трапецій

Для зменшення методичної похибки - апроксимація функції прямою лінією (заміна криволінійної трапеції прямолінійною) [2, 6]. В цьому випадку, площа елементарної прямолінійної трапеції (рис.4.3,а):

Ітр = [f(a) + f(b)](b-а) / 2.

(4.3)

Рис.4.3. До методу трапецій (а) та Симпсона (б).

Якщо інтервал інтегрування розбито на n підінтервалів з відліками функції yi (і = 0, 1, ..., n), то загальний інтеграл визначають за формулою:

.

(4.4)

Задача 4.2. Проінтегрувати функцію f = x2 на інтервалі [0, 1] методом трапецій з розбивкою на 2 підінтервала.

Розв’язок. Результати розрахунків наведені в таблиці. У відповідності до (4.4):

При цьому, відносна похибка розрахунку складає:

.

Похибка розрахунку визначеного інтеграла методом трапецій значно меньша похибки метода прямокутників з вибором відліку функції на межах та співвимірна з похибкою метода прямокутників при виборі відліку функції в середині підінтервала інтегрування.

Фрагмент програми Trap розрахунку визначенного інтеграла методом трапецій наведено нижче .

h:=(b-a)/n; x:=a+h;

I1:=(F(a)+F(b))/2;

for i:=1 to n-1 do

begin

I1:=I1+F(x); x:=x+h;

end;

I1:=I1*h;

writeln(I1:12:5);

Результати розрахунку визначеного інтеграла методом трапецій для різної кількості n = 10, 100, 1000 підінтервалів інтегрування наведені в таблиці.

n

x

Значення інтеграла

Відносна похибка розрахунків

10

0.100000

0.33500

0.00500

100

0.010000

0.33335

0.00005

1000

0.001000

0.33333

0.00000

Значення відносної похибки близьке до похибки методу прямокутників з вибором відліку функції у середині підінтервала.

4.3.Метод Симпсона

Метод Симпсона [2, 6] грунтується на нелінійній (квадритичній) апроксимації функції на відрізку [х0, х2], що в середині має точку х1 (див. рис.4.2). Елементарний інетеграл від функції шукають у вигляді полінома другого порядку y = ax2 + bx + c.

Відповідно до методу невизначених коефіціентів для значень 0, h, 2h аргумента значення коефіціентів визначаються через розвязання системи рівнянь:

4h2

2h

1

a

y2

h2

h

1

b

=

y1

.

0

0

1

c

y0

Якщо вибрані точки не співпадають (h 0), то визначник матриці Вандермонда  = 4h2h - 2hh2 = 2h3 0 і система рівнянь має розв’язок:

y2

2h

1

а =

y1

h

1

/ =

y2 h + y0 2h - y0 h – y12h

=

y0 - 2y1 + y2

.

y0

0

1

2h3

2h2

4h2

y2

1

b =

h2

y1

1

/ =

y14h2 + y0h2 - y04h2 – y2h2

=

-3y0 + 4y1 - y2

.

0

y0

1

2h3

2h

4h2

2h

y2

c =

h2

h

y1

/ =

y04h3 – y02h3

= y0.

0

0

y0

2h3

Невизначений інтеграл від параболічної функції в інтервалі [0, 2h]:

Складові визначеного інтегралу від параболи в межах від 0 до 2h:

Таким чином, значення елементарного інтеграла від криволінійної трапеції, інтерпольованої параболою, визначається формулою:

Підсумовування трьох криволінійних трапецій показує певну закономірність у чергуванні коефіцієнтів при відліках функції:

S1 = (y0 + 4y1 + y2)

S2 = (y2 + 4y3 + y4)

S3 = (y4 + 4y5 + y6)

S1 +S2 +S3 = 1y0 +4y1 +2y2 +4y3 +2y4 + 4 y5 +1 y6.

Таким чином, загальне значення ІС визначеного інтегралу за методом Симпсона для n=2m (n завжди парне) підінтервалів визначається формулою:

ІС = (у0 + 4у1 + 2у2 + 4у3 + 2у4 + ... + 4у2m-1 + у2m).

(4.5)

Задача 4.3. Проінтегрувати функцію f = x2 на інтервалі [0, 1] методом Симпсона з розбивкою на 2 підінтервала.

Розвязок. У відповідності до (4.5):

ІС = [f(a) + 4 f(a+h) + f(b)] h/3 = [0 + 4  ¼ + 1]  0.5 / 3 = 1/3.

Аналітичне значення інтегралу у межах від 0 до 1:

.

Таким чином, методична похибка інтегрування квадратичної функції за методом Симпсона дорівнює 0.

Задача 4.4. Проінтегрувати за методом Симпсона функцію у=х2 в інтервалі [0, 6] з кроком h=1.

Розв’язок. Результати попередніх розрахунків наведені в таблиці:

х

0

1

2

3

4

5

6

у = х2

0

1

4

9

16

25

36

k

1

4

2

4

2

4

1

y*k

0

4

8

36

32

100

36

Таким чином, розраховане за методом Симпсона значення інтегралу

Аналітичне значення інтегралу у межах від 0 до 6

.

Таким чином, чисельне інтегрування квадратичної функції з великим кроком за методом Симпсона методичної похибки не дало.

Задача 4.5. Проінтегрувати за методом Симпсона функцію у=х4 в інтервалі [0, 6] з кроком h=1.

Розв’язок. Результати попередніх розрахунків наведені в таблиці:

x

0

1

2

3

4

5

6

y=х4

0

1

16

81

256

625

1296

k

1

4

2

4

2

4

1

y*k

0

4

32

324

512

2500

1296

Значення інтегралу за методом Симпсона

Аналітичне значення інтегралу у межах від 0 до 6 складає

Для заданої біквадратної функції чисельне інтегрування за методом Симпсона дало методичну похибку 0.05%.

Фрагмент програми Symp розрахунку визначенного інтеграла методом Симпсона наведено нижче.

x:=a+h; { 1. Розрахунок суми непарних складових}

s4:=0;

while x<b do

begin

s4:=s4+F(x); x:=x+2*h;

end;

x:=a+2*h; { 2. Розрахунок суми парних складових}

s2:=0; і:=2;

while і<n do

begin

s2:=s2+F(x); x:=x+2*h;

i:=i+2

end;

I1:=(F(a)+4*s4+2*s2+F(b))*h/3; { 3. Розрахунок інтеграла }

writeln(I1:12:5);

Результати інтегрування функції f = x4 на інтервалі [0, 1] методом Симпсона за допомогою програми Symp з розбивкою на 2, 4, ... 32 підінтервали наведені в таблиці.

n

x

Значення інтеграла

Відносна похибка розрахунків

2

0.500000

0.20833

0.04167

4

0.250000

0.20052

0.00260

8

0.125000

0.20003

0.00016

16

0.062500

0.20000

0.00001

32

0.031250

0.20000

0.00000

Результати засвідчують, що вже для числа підінтервалів 16 відносна методична похибка інтегрування функції f = x4 не перевищує 10-5.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]