Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
КМСхКТ_мет_2012.doc
Скачиваний:
11
Добавлен:
19.11.2019
Размер:
1.81 Mб
Скачать

8.2.2.Квадратична регресія

Квадратична регресія - це наближення (згладжування) експериментальних даних квадтичним тричленом

Частинні похідні зглажувальної функції . Тоді допоміжна система рівнянь набуває вигляду:

.

(8.6)

З додатковими до раніше введених позначеннями ; система рівнянь (8.6) має вигляд:

Розв’язання системи і дозволяє отримати коефіцієнти і побудувати згладжувальну функцію.

Задача 8.4. Побудувати згладжувальну функцію другого порядку для виміряних даних, що наведені в таблиці.

хi =

0

1

2

3

.

уi =

1

4

9

16

Розв’язок. Кількість змінних m=3, кількість експериментальних точок n =4.

Таким чином, допоміжна розширена система рівнянь для задачі має вигляд:

В результаті розвязання системи рівнянь а=1, b=2, с=1. Тоді згладжувальна функція буде мати вигляд Розрахунки похибки апроксимації наведені в таблиці.

хi =

0

1

2

3

.

уi =

1

4

9

16

1

4

9

16

0

0

0

0

Згладжувальна функція точно проходить через задані точки – всі чотири точки знаходяться на параболі.

9.Розв’язання звичайних диференційних рівнянь

Деякі наукові або інженерні задачі вимагають розв’язання диференціальних рівнянь. Найпростіші з них можна розв’язати аналітично. Однак більшість задач з диференціальними рівняннями може бути розв’язана лише чисельно.

9.1.Постановка задачі

Найпростішим звичайним диференційним рівнянням є рівняння 1-го порядку вигляду:

y’=f(x, y)

(9.1)

Задача Коші – знайти розв’язок рівняння (6.1) у вигляді функції y(x), що задовольняє початковій умові

y(xо)= yо

(9.2)

Геометрично це означає, що треба знайти інтегральну криву y=y(x), що проходить через задану точку Мо(xо, yо) при виконанні рівності (6.1).

Рис.9.1. До постановки задачі

Розроблено чимало способів знаходження аналітичного розв’язання диференційних рівнянь [7]. Але часто при розв’язанні практичних задач ці методи або зовсім безпомічні, або їх розв’язання пов’язане з неприпустимими витратами зусиль та часу. Тому в пригоді стають методи наближеного розв’язання диференційних рівнянь.

9.2.Метод Ейлера

Найпростішим методом чисельного розв’язання диференційного рівняння є метод ламаних Ейлера. Нехай дано рівняння (9.1) з початковими умовами (9.2). Вибравши достатньо малий крок h, будують , починаючи з точки хо, систему рівновіддалених точок хі = хо+kh (k=0, 1, 2, …). Замість інтегральної кривої, що шукають на відрізку [x0, x1], розглядають відрізок дотичної L1 до неї в точці Моо, уо) із рівняння y=y0+f(x0, y0)(x-x0). Аналогічно проводячи дотичну L2 до деякої інтегральної кривої в точці М11, у1), отримують y=y1+f(x1, y1)(x-x2), і т.д.

Таким чином, ітераційні формули для розрахунку аргументу і функції для k-ої ітерації (k = 1, 2, 3, ...) мають вигляд:

хk = х0 + kh;

у k  уk-1 + hу' = уk-1 + 0.1(5- уk-1).

(9.3)

Задача 9.1. Методом Ейлера розв’язати рівняння у' = (5 - у) з початковим значенням змінної х0=0 і кроком інтегрування h =0,1.

Розв’язок. У відповідності до (9.3) для k=1 та k=2:

k=1: х1=0.1; у1 = у0 + hf(x0, y0) = 0+0,1(5-0)=0,5;

k=2: х2=0.2; у2 = у1 + hf(x1, y1) = 0.5+0.1(5-0.5)=0,95; …

Декілька кроків розвязання задачі наведено у таблиці:

k

хk

уk-1

0.1(5- уk-1)

уk

yт

, %

1

0,1

0

0,5

0,5

0,4758

5,04

2

0,2

0,5

0,45

0,95

0,9063

4,85

3

0,3

0,95

0,405

1,355

1,2959

4,55

8

0,8

2,609

0,2391

2,848

2,7534

3,45

9

0,9

2,848

0,2152

3,063

2,9672

3,24

10

1,0

3,063

0,1937

3,257

3,1606

3,04

Точне значення ут функції отримано із аналітичного розвязку у = 5(1‑е-t) згаданого диференційного рівняння.

М етод Ейлера забезпечує порівняно невисоку точність [5] розрахунку (h2), до того ж, у загальному випадку похибка кожного нового кроку систематично накопичується. Для оцінки похибки в цьому випадку широко використовується спосіб подвійного розрахунку – з кроком h та h/2. Співпадіння старших десяткових знаків в результатах, отриманих цими двома способами, дає грунт вважати їх вірними.

Задача 9.2. Для попередньої задачі розрахувати значення уk для tk = 0,1 з кроком h=0,05.

Розв'язок. Результати розрахунків наведені в таблиці:

k

tk

уk-1

0.05(5- уk-1)

уk

ут

, %

1

0,05

0

0,25

0,25

0,244

2,46

2

0,1

0,25

0,2375

0,4875

0,476

2,42

Похибка 0,05 для кроку 0,05 і tk = 0,1 зменшилася вдвоє порівняно з порхибкою 0,1 для кроку 0,1. Ці результати відрізняються на 2,5%, що співвимірно з похибками 0,1 та 0,05.

Задача 9.3. Для задачі (4.1) розрахувати методом Ейлера два значення уk для tk = 0,05 з кроком h=0,025.

Розв'язок. Результати розрахунків наведені в таблиці:

k

tk

уk-1

0.025(5- уk-1)

уk

ут

, %

1

0,025

0

0,125

0,125

0,1235

1,21

2

0,050

0,125

0,121875

0,247

0,244

1,23

Похибка 0,025 для кроку 0,025 і tk = 0,05 зменьшилася вдвоє порівняно з похибкою 0,05 для кроку 0,05. Ці результати відрізняються на 1,2%, що співвимірно з похибками 0,025 та 0,05.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]