Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
КМСхКТ_мет_2012.doc
Скачиваний:
11
Добавлен:
19.11.2019
Размер:
1.81 Mб
Скачать

5.4.Метод опорного елементу

Метод опорного елементу [6, 7] грунтується на послідовному еквівалентному перетворенні початкової системи рівнянь з матрицею коефіціентів А шляхом видалення із неї непотрібних невідомих. Формально це відповідає викресленню рядків та стовпчиків матриці коефіціентів та трансформації матриці у відповідності до формули Гауса:

,

(5.7)

де k – номер невідомого (рядка та стовпчика), що видаляється. Метод має важливе значення як для розвязання систем равнянь, так і для розрахунку еквівалентних параметрів багатополюсних компонентів.

Задача 5.8. Виконати перетворення матриці А для k =3 і розрахувати значення невідомих х1 і х2.

1

-1

0

3

2/3

-1/3

3

А В=

-1

3

-1

0

 [Ã В] =

-1/3

5/3

0

0

-1

2

0

Подальше розвязання системи [ÃВ] дає:

х1=

3

-1/3

/1= 5;

х2=

2/3

3

/1= 1.

0

5/3

-1/3

0

Тут подвійні вертикальні лінії означають визначник матриці. Результат співпадає з тим, що отримано методами Гауса та Жордана.

6.Ітераційні методи розвяЗувАння систем лінійних рівнянь

Для розрідженний матриць, де більшість рівнянь має невелику кількість ненульових коефіціентів, більш ефективні непрямі, ітераційні методи [1, 2]. Для таких систем і розміри памяті потрібні менші, ніж при використанні прямих методів.

Ітераційні обчислювальні схеми для систем лінійних рівнянь АХ=В грунтуються на приведенні останніх до вигляду:

.

(6.1)

Нехай і-те рівняння системи АХ=В має вигляд:

аі1 x1 + аі2 x2 + … + аin xn = bi.

Якщо розділити на аіі та перенести всі добутки, крім xі у праву частину, то рівняння набере вигляду:

.

Або в матричній формі

Х = С Х + G,

де С = Е – А* - трансформована квадратна матриця коефіціентів; Е – одинична матриця; А* - матриця, що зберігає нормовані відносно аіі рівняння матриці А; G – нормований відносно аіі вектор В.

Ітераційні обчислювальні процеси не завжди збігаються (сходяться) до розв'язку системи рівнянь. Область, вибір початкових значень змінних в якій приводить до розвязку системи рівнянь, називають областю сходимості. Із збільшенням кількості змінних область сходимості зменшується і у випадку великих систем сходимість забезпечується лише за умови, що початкові значення змінних достатньо близькі до розвязку системи. Умови сходимості можуть бути виражені через коефіціенти системи рівнянь:

Умова збіжності обчислювального процесу

(6.2)

1

2

3

Основними ітераційними методами розв’язання систем лінійних рівнянь, що використовують сиcтему (6.2) є методи одночасної заміни (метод Якобі) та послідовної заміни (метод Гауса-Зейделя) параметрів.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]