- •Методичні рекомендації до вивчення дисціпліни "Комп’ютерне моделювання електронних схем, конструкцій та технологій електронних апаратів"
- •1.Загальні питання
- •2.Визначення полюсів схемних функцій
- •2.1.Метод дихотомії
- •2.2.Метод хорд
- •2.3.Метод дотичних
- •2.4.Пошук комплексних коренів нелінійних рівнянь
- •3.Визначення коефіціентів чутливості
- •3.1.Розрахунок перших частинних похідних функції
- •3.1.1.Схема 2т чисельного диференціювання
- •3.1.2.Схема 3т чисельного диференціювання
- •3.2.Розрахунок власних частинних похідних другого порядку
- •3.3.Розрахунок взаємних похідних другого порядку
- •4.Визначення міри відповідності характеристик реа
- •4.1.Метод прямокутників
- •4.2.Метод трапецій
- •4.3.Метод Симпсона
- •5.Модедювання радіоелектронних апаратів системами рівнянь
- •5.1.Метод Гауса
- •5.1.1.Розв’язання систем алгебраїчних рівнянь методом Гауса
- •5.1.2.Обчислення визначника матриці методом Гауса
- •5.1.3.Обернення матриці методом Гауса
- •5.2.Метод Жордана
- •5.2.1.Обернення матриці методом Жордана
- •5.3.Метод lu-факторизації
- •5.4.Метод опорного елементу
- •6.Ітераційні методи розвяЗувАння систем лінійних рівнянь
- •6.1.Метод Якобі
- •6.2.Метод Гауса-Зейделя
- •6.3.Метод послідовної верхньої релаксації
- •7.Моделюванні статичного режиму радіоелектронних засобів
- •7.1.Метод простої ітерації
- •7.2.Метод Ньютона
- •2.3 Метод продовження параметру
- •8.Інтерполяція та наближення кривими
- •8.1.Метод невизначених коефіціентів
- •8.2.Регресійний аналіз. Метод найменших квадратів
- •8.2.1.Лінійна регресія
- •8.2.2.Квадратична регресія
- •9.Розв’язання звичайних диференційних рівнянь
- •9.1.Постановка задачі
- •9.2.Метод Ейлера
- •9.3.Метод Ейлера-Коші
- •9.4.Метод Рунге-Кутта
- •Перелік літератури
5.4.Метод опорного елементу
Метод опорного елементу [6, 7] грунтується на послідовному еквівалентному перетворенні початкової системи рівнянь з матрицею коефіціентів А шляхом видалення із неї непотрібних невідомих. Формально це відповідає викресленню рядків та стовпчиків матриці коефіціентів та трансформації матриці у відповідності до формули Гауса:
, |
(5.7) |
де k – номер невідомого (рядка та стовпчика), що видаляється. Метод має важливе значення як для розвязання систем равнянь, так і для розрахунку еквівалентних параметрів багатополюсних компонентів.
Задача 5.8. Виконати перетворення матриці А для k =3 і розрахувати значення невідомих х1 і х2.
|
1 |
-1 |
0 |
3 |
|
2/3 |
-1/3 |
3 |
|
А В= |
-1 |
3 |
-1 |
0 |
[Ã В] = |
-1/3 |
5/3 |
0 |
|
|
0 |
-1 |
2 |
0 |
|
Подальше розвязання системи [ÃВ] дає:
-
х1=
3
-1/3
/1= 5;
х2=
2/3
3
/1= 1.
0
5/3
-1/3
0
Тут подвійні вертикальні лінії означають визначник матриці. Результат співпадає з тим, що отримано методами Гауса та Жордана.
6.Ітераційні методи розвяЗувАння систем лінійних рівнянь
Для розрідженний матриць, де більшість рівнянь має невелику кількість ненульових коефіціентів, більш ефективні непрямі, ітераційні методи [1, 2]. Для таких систем і розміри памяті потрібні менші, ніж при використанні прямих методів.
Ітераційні обчислювальні схеми для систем лінійних рівнянь АХ=В грунтуються на приведенні останніх до вигляду:
. |
(6.1) |
Нехай і-те рівняння системи АХ=В має вигляд:
аі1 x1 + аі2 x2 + … + аin xn = bi.
Якщо розділити на аіі та перенести всі добутки, крім xі у праву частину, то рівняння набере вигляду:
.
Або в матричній формі
Х = С Х + G,
де С = Е – А* - трансформована квадратна матриця коефіціентів; Е – одинична матриця; А* - матриця, що зберігає нормовані відносно аіі рівняння матриці А; G – нормований відносно аіі вектор В.
Ітераційні обчислювальні процеси не завжди збігаються (сходяться) до розв'язку системи рівнянь. Область, вибір початкових значень змінних в якій приводить до розвязку системи рівнянь, називають областю сходимості. Із збільшенням кількості змінних область сходимості зменшується і у випадку великих систем сходимість забезпечується лише за умови, що початкові значення змінних достатньо близькі до розвязку системи. Умови сходимості можуть бути виражені через коефіціенти системи рівнянь:
№ |
Умова збіжності обчислювального процесу |
(6.2) |
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
Основними ітераційними методами розв’язання систем лінійних рівнянь, що використовують сиcтему (6.2) є методи одночасної заміни (метод Якобі) та послідовної заміни (метод Гауса-Зейделя) параметрів.