Рiвняння прямої, що проходить через двi заданi точки

Нехай задано дві точки прямої та . Рiвняння прямої, що проходить через двi заданi точки, запишемо як рiвняння прямої, що проходить через точку паралельно вектору , який вiзьмемо за вектор

.

Використавши рiвняння (4.1) одержимо:

(4.6)

Рівняння (4.6) називається рівнянням прямої, що проходить через дві точки.

y

x

Рис. 11

Рівняння прямої у відрізках на осях

Нехай пряму задано за допомогою двох відрізків, які вона відтинає на осях , . Позначимо відрізки, які відтинає ця пряма на осях , , відповідно через і , тоді , . Запишемо рівняння прямої, яка проходить через точки і :

,

,

тобто

. (4.7)

Рівняння (4.7) — рівняння прямої у відрізках на осях.

y

B

b

A

0 a x

Рис. 12

Рiвняння прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора

Нехай точка — фiксована точка прямої , вектор перпендикулярний до прямiї . Складемо рiвняння прямої , що проходить через точку , перпендикулярно до вектора .

Нехай — довiльна точка прямої , тоді вектор перпендикулярний до вектора , тобто скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю

.

Оскільки координати вектора ,

то

.

Отже,

. (4.8)

(4.8) — рiвняння прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора.

y

х

Рис. 13

Нормальне рівняння прямої

Пряму лінію задано нормаллю. Нормаль — це перпендикуляр, опущений з початку координат на пряму. Отже, нехай — нормаль прямої, — довжина нормалі, — кут, утворений нормаль з віссю

Знаючи довжину нормалі, визначимо вектор і точку Координати вектора є проекціями нормалі на осі координат. Таким чином,

Точка є кіцем вектора, початок якого міститься у початку координат. Отже, координати вектора в цьому разі дорівнюють координатам його кінця,

Візьмемо вектор за нормальний вектор прямої і запишемо рівняння прямої у вигляді:

Скорочуємо на і розкриваємо дужки. Дістанемо:

Враховуючи, що , остаточно маємо

(4.9)

Рівняння (4.9) називають нормальним рівнянням прямої.

Нормальне рівняння прямої має такі властивості:

1)Вільний член нормального рівняння прямої завжди від’ємний. Справді, , отже,

2)Сума квадратів коефіцієнтів при і у нормальному рівнянні прямої завжди дорівнює одиниці. Так,