§4. Пряма лінія на площині

Означення. Рівняння F (x, y) = 0 називається рівнянням деякої лінії в заданій системі координат, якщо це рівняння задовольняють координати (х, у) будь-якої точки, що лежить на цій лінії, і не задовольняють координати жодної точки, що не лежить на цій лінії.

Складемо рівняння прямої на площині, використовуючи аппарат векторної алгебри.

Рiвняння прямої, що проходить через задану точку паралельно заданому вектору

Нехай на площинi в декартовiй прямокутнiй системi координат задано пряму . Точка — фiксована точка прямої , вектор паралельний прямiй . Вектор називають напрямним вектором прямої. Складемо рiвняння прямої . Для того щоб скласти рiвняння лінії, знайдемо спiввiдношення мiж координатами будь–якої довiльної точки цiєї

прямої з вiдповiдними сталими параметрами, якi визначають пряму.

Точка i вектор однозначно визначають пряму, оскiльки через точку можно провести одну i тiльки одну пряму, паралельну вектору . Нехай — довiльна точка прямої . Незалежно вiд того, де знаходиться точка на прямiй , вектор завжди буде колiнеарний вектору . Отже, координати векторiв , — пропорцiйнi:

. (4.1)

Р iвняння (4.1) називають рiвняння прямої, що проходить через задану точку паралельно заданому вектору або канонiчним рiвнянням прямої.

y

0 x

Рис. 8

Параметричне рiвняння прямої

Якщо у рiвняннi прямої (4.1) кожне iз вiдношень позначити через , тобто

,

i виразити координати через координати точки та параметр , то одержимо рiвняння

, , (4.2)

якi називають параметричними рiвняннями прямої.

Рiвняння прямої, що проходить через задану точку

Рiвняння прямої, що проходить через задану точку знайдемо як окремий випадок рiвняння прямої (4.1). Розвяжемо рiвняння (4.1) вiдносно :

. (4.3)

Позначимо вiдношення . Тодi (див. Рис. 9)

,

де — кут нахилу вектора до осi i кут нахилу до осi . Число називають кутовим коефцiєнтом прямої. Замiнивши вiдношення через , маємо

. (4.4)

Рiвняння (4.4) називають рiвняння прямої, що проходить через задану точку .

y

x

0

Рис. 9

Рiвняння прямої з кутовим коефцiєнтом

Рiвняння прямої з кутовим коефцiєнтом є окремим випадком рiвняння прямої, що проходить через задану точку, коли ця точка лежить на осi . Позначимо вiдрiзок, який відтинає пряма на осi через . Тодi i рiвняння набуває вигляду

,

. (4.5)

Рiвняння (4.5) називають рiвнянням прямої з кутовим коефцiєнтом, — кутовий коефцiєнт прямої, — вiдрiзок, який відтинає пряма на осi .

y

b

x

Рис. 10