6.2 Системи диференціальних рівнянь
Нехай необхідно знайти розв’язок задачі Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, які записані у стандартній формі
,
,
,
,
(6.25)
………………………………………
,
.
Якщо ввести векторні позначення
,
,
,
,
то задачу Коші (6.25) можна записати у такому компактному вигляді:
,
.
(6.26)
Векторне рівняння (6.26) за
своєю структурою аналогічне скалярному
рівнянню (6.1). Це означає, що для задачі
(6.26), яка подана у вигляді векторного
рівняння, у принципі, можна застосувати
будь-який числовий метод розв’язку
звичайних диференціальних рівнянь,
який розглядався раніше. При цьому
скалярним величинам у формулах, які
визначені відповідними методами,
скалярними величинами є тільки змінна
та розрахунковий крок
;
всім іншим величинам відповідають
вектори розмірності
.
Необхідно лише врахувати, що при контролі
за точністю розв’язку замість умови
(6.21) потрібно використовувати аналогічну
умову, в якій замість модуля треба взяти
норму відповідного вектора, наприклад,
норму-максимум.
Для вектора
з компонентами
,
,
…,
норма-вектор буде такою:
.
(6.27)
Контрольні питання та завдання
1 Які недоліки притаманні методу Ейлера розв'язку диференціальних рівнянь?
2 Який порядок похибки методу Ейлера?
3 Порівняйте між собою методи Ейлера і Гюна.
4 Яка особливість методів сімейства Рунге-Кутта?
5 Який вигляд має загальна ітераційна процедура у методі Рунге-Кутта?
6 Як із загальної процедури Рунге-Кутта отримати метод Хойна і метод середньої точки?
7 Який порядок точності розв'язку диференціальних рівнянь забезпечує метод Рунге-Кутта?
8 Яка відмінність методу Кутта-Мерсона від методу Рунге-Кутта?
9 Яка особливість розв'язку систем диференціальних рівнянь у порівняння з розв'язками скалярних диференціальних рівнянь?