3. Плоскость и прямая в пространстве

3.1. Основные сведения из теории

Пусть прямая задана каноническими уравнениями

: ,

а плоскость – общим уравнением

: .

1. Угол между прямой и плоскостью равен углу между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости и вычисляется по формуле

. (3.1)

2. Условие параллельности прямой и плоскости имеет вид

.

Оно равносильно условию ортогональности векторов и

3. Условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид

.

Оно равносильно условию коллинеарности векторов и .

4. Условие принадлежности прямой плоскости записывается в виде

(3.2)

где координаты точки , принадлежащей прямой.

3.2. Решение типовых задач

Задача 3.1. Найти острый угол между прямой и плоскостью .

Решение. Направляющий вектор прямой равен . Нормальный вектор плоскости равен . По формуле (3.1)

, .

Ответ:

Задача 3.2. При каком значении прямая : параллельна плоскости : ?

Решение. Согласно условию задачи прямая задана как линия пересечения двух плоскостей. Нормальный вектор первой плоскости равен , нормальный вектор второй плоскости равен . Направляющий вектор прямой равен (см. формулу (2.6)):

.

Условие параллельности прямой и плоскости это условие ортогональности направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости , т. е. . Умножая, получаем

.

Таким образом, уравнение плоскости будет .

Ответ:

Задача 3.3. При каких значениях и прямая лежит в плоскости ?

Решение. Прямая будет параллельна плоскости, если ее направляющий вектор будет ортогонален нормальному вектору плоскости , т. е. . Запишем это условие:

Прямая будет принадлежать плоскости, если координаты точки , через которую проходит прямая, удовлетворяют уравнению плоскости: . Отсюда получаем, что

При решении задачи мы воспользовались формулой (3.2).

Ответ:

Задача 3.4. Найти точку пересечения прямой : и плоскости :

Решение. Запишем уравнения прямой в параметрическом виде

Подставляя выражения для в уравнение плоскости , получим

Теперь следует подставить значение параметра в параметрические уравнения прямой . Находим .

Ответ:

Полезная формула. Если прямая пересекается с плоскостью , то точке пересечения отвечает значение параметра

. (3.3)

Задача 3.5. Найти уравнение плоскости , проходящей через прямую : перпендикулярно плоскости :

Р ешение. Плоскость имеет два направляющих вектора и и проходит через точку (рис. 3.1). Согласно формуле (1.9) ее уравнение будет иметь вид

,

или

.

Окончательно: .

Ответ: .

З адача 3.6. Известны координаты вершин тетраэдра: Найти уравнение и длину его высоты .

Р

ешение. Данный тетраэдр мы рассматривали в задаче 1.10. Уравнение основания имеет вид . В качестве направляющего вектора высоты можно выбрать нормальный вектор грани , т. е. (рис. 3.2). Кроме того, нам известны координаты точки , через которую проходит высота. Воспользуемся каноническими уравнениями прямой (2.3). Тогда получим

: .

Высоту можно найти по формуле (1.5), определяющей расстояние от точки до грани : .

.

(Напомним, что – это коэффициенты в общем уравнении плоскости , и они равны , , , .)

Ответ: : ; .

Задача 3.7. Даны прямые : и : . Найти уравнение плоскости проходящей через прямую параллельно прямой

Решение. Векторы и являются направляющими векторами плоскости (рис. 3.3). Точка принадлежит плоскости . Решаем задачу, используя формулу (1.9):

,

или

.

Окончательно: .

Ответ: .

Задача 3.8. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую : и точку .

Решение. Прямая проходит через точку и ее направляющий вектор равен . Произвольная точка будет принадлежать искомой плоскости , если векторы и компланарны: (рис. 3.4), т. е.

.

Это и есть уравнение плоскости . Подставляем координаты:

,

или

.

Окончательно: .

Ответ: .

Полезная формула. Уравнение плоскости, проходящей через прямую : и точку , не лежащую на этой прямой, имеет вид

(3.4)

Задача 3.9. Доказать, что прямые

: :

лежат в одной плоскости и найти уравнение этой плоскости.

Р ешение. Первая прямая проходит через точку и ее направляющий вектор . Вторая прямая проходит через точку и ее направляющим вектором является . Очевидно, что прямые лежат в одной плоскости, если векторы , и компланарны: (рис. 3.5), т. е.

.

Подставим заданные координаты:

.

Это означает, что прямые и лежат в одной плоскости. Векторы и не коллинеарны. Следовательно, эти прямые пересекаются.

Найдем уравнение плоскости , в которой лежат прямые и . Очевидн о, что произвольная точка будет принадлежать плоскости, если векторы , , компланарны: (рис. 3.6), т. е.

.

Это и есть уравнение искомой плоскости. Подставляем координаты и вычисляем определитель разложением по элементам первой строки. Получаем

,

или

.

Окончательно: .

Ответ: .

Полезные формулы. Две прямые

: :

лежат в одной плоскости, если

. (3.5)

Если прямые пересекаются, то уравнением этой плоскости будет

. (3.6)

Замечание. Прямые скрещиваются (т. е. не лежат в одной плоскости) тогда и только тогда, когда и равенство (3.5) несправедливо.

З адача 3.10. Найти уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:

: : .

Р

ешение. Ясно, что направляющие векторы этих прямых равны . Первая прямая проходит через точку , вторая через точку . Произвольная точка принадлежит искомой плоскости , если векторы , и компланарны: (рис. 3.7), т. е.

.

Подставляя заданные координаты, находим уравнение плоскости

,

или

.

Окончательно: .

Ответ: .

Полезная формула. Уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые ( , )

: : ,

имеет вид

. (3.7)

Замечание. В задачах 1.3, 1.9, 3.5, 3.8–3.10 без труда можно указать два направляющих вектора искомых плоскостей. Поэтому решение этих задач аналогично решению задачи 1.2. Если эти направляющие векторы явно не обозначены в ходе решения, то найдите их самостоятельно. Подумайте, что общего в формулах (1.7)–(1.9), (3.4)–(3.7).