2. Прямая в пространстве

2.1. Основные сведения из теории

Прямая в пространстве может быть задана уравнением одного из следующих видов.

1. Общие уравнения прямой:

(2.1)

где коэффициенты не пропорциональны коэффициентам . Это равносильно заданию прямой как линии пересечения двух плоскостей.

2. Параметрические уравнения прямой:

(2.2)

Здесь – координаты какой-либо точки принадлежащей прямой – координаты вектора , параллельного прямой. Вектор называется направляющим вектором прямой. Переменная­ – параметр,

3. Канонические уравнения прямой:

(2.3)

4. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки и :

(2.4)

Кроме того, при решении задач будут использоваться следующие формулы, доказательство которых можно найти в теоретическом курсе.

5. Угол между двумя прямыми

;

равен углу между направляющими векторами и :

(2.5)

Прямые и параллельны тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны ( ):

.

Прямые и перпендикулярны тогда и только тогда, когда векторы и ортогональны ( ):

2.2. Решение типовых задач

Задача 2.1. Найти канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей:

Решение. Прямая задана общими уравнениями (2.1). Найдем какую-нибудь точку на прямой. Выберем, например, . Другие координаты получим из системы уравнений Очевидно, что . Следовательно, . Затем находим направляющий вектор прямой. Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то вектор ортогонален нормальным векторам этих плоскостей, т. е. (рис. 2.1). Поэтому за направляющий вектор можно принять

.

Подставляя координаты направляющего вектора и точки в уравнения прямой (2.3), получим

.

Ответ: .

Полезная формула. Если прямая задана как линия пересечения двух плоскостей:

то ее направляющий вектор можно выбрать в виде

. (2.6)

Задача 2.2. Найти параметрические и канонические уравнения прямой, проходящей через точку и параллельной вектору .

Решение. Известны точка и направляющий вектор прямой.

Согласно формуле (2.2) параметрические уравнения прямой имеют вид

Канонические уравнения получаем, используя формулу (2.3):

.

Ответ: .

Задача 2.3. Найти направляющий вектор прямой :

Р ешение. Прямая проходит через точку (2, 4) на плоскости и параллельна оси (рис. 2.2). Очевидно, что ее направляющий вектор можно выбрать в виде (0, 0, 1).

Ответ: (0, 0, 1).

.

Задача 2.5. Найти косинус острого угла между прямыми

: ; : .

Решение. Из уравнений прямых вытекает, что направляющий вектор прямой равен , направляющий вектор прямой равен . Для удобства вычислений направляющий вектор прямой выберем в виде . Он коллинеарен исходному. Используя формулу (2.5), получаем

Ответ:

Задача 2.6. Показать, что прямая перпендикулярна прямой

Решение. Направляющий вектор первой прямой, очевидно, равен , направляющий вектор второй прямой найдем с помощью формулы (2.6):

.

Вычислим скалярное произведение векторов и

Ответ: прямые перпендикулярны.

Задача 2.7. Проверить, лежат ли три данные точки , и на одной прямой.

Решение. Напишем уравнения прямой, проходящей через две заданные точки и , согласно формуле (2.4). Получим

.

П роверим, удовлетворяют ли координаты точки этим уравнениям. После подстановки получаем: Следовательно, точка не лежит на прямой.

Ответ: не лежат.

Задача 2.8. Найти канонические уравнения прямых , проходящих через точку параллельно: 1) оси ; 2) оси ; 3) оси .

Решение. Найдем уравнения прямой , проходящей через точку параллельно оси . Ее направляющий вектор можно выбрать в виде (рис. 2.3).

Используя формулу (2.3), получим

: .

Таким же образом находим и .

: , ;

: , .

Ответ: : ; : ; : .

Задача 2.9. Найти точки пересечения прямой : с плоскостями координат.

Решение. Для того чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью , в канонических уравнениях прямой следует положить . Получим , откуда , . Таким образом, прямая пересекает плоскость в точке . Аналогично находим точки пересечения с плоскостями и .

Ответ: ; ; .

З адача 2.10. Известны координаты вершин тетраэдра: . Составить канонические уравнения его ребер и найти их длины.

Решение. Условие такое же, как и в задаче 1.10 (рис. 2.4). Найдем уравнения ребра . Для этого подставим координаты вершин и в формулу (2.4). Получим . Теперь можно определить длину ребра :

.

Уравнения и длины остальных ребер найдите самостоятельно.

Ответ: 1) : , ;

2) : , ;

3) : , ;

4) : , ;

5) : , ;

6) : , .

Задача 2.11. Найти точку пересечения двух прямых

: : .

Решение. Перепишем уравнения прямых в параметрическом виде

: :

Для нахождения точки пересечения этих прямых нужно решить систему уравнений:

Очевидно, она имеет единственное решение Подставляя значение параметра в параметрические уравнения прямой (или в уравнения прямой ), получим

Ответ: .