Задачи на плоскость и прямую в пространстве
Цель настоящих методических указаний заключается в том, чтобы представить набор типовых задач по следующим разделам аналитической геометрии: «Плоскость», «Прямая в пространстве», «Плоскость и прямая». Предложенный набор упражнений ориентирован на освоение ключевых теоретических понятий и утверждений посредством приобретения практических навыков решения стандартных задач по курсу. При этом не требуется применения каких-либо нетрадиционных приемов или теоретических утверждений, выходящих за рамки курса.
1.Плоскость
1.4.Основные сведения из теории
В декартовой системе координат
плоскость
может быть задана уравнением одного из
следующих видов.
1. Общее уравнение плоскости:
Вектор
перпендикулярен плоскости.
2. Уравнение
плоскости, проходящей через заданную
точку
перпендикулярно нормальному вектору
,
имеет вид
(1.2)
3. Уравнение плоскости в отрезках на осях:
(1.3)
Здесь
величины направленных отрезков,
отсекаемых плоскостью на координатных
осях
соответственно, т. е. плоскость проходит
через три точки:
,
,
.
Кроме того, понадобятся следующие
формулы, доказательство которых можно
найти в теоретическом курсе.
4. Угол
между двумя плоскостями
и
равен углу между нормальными векторами
и
:
;
(1.4)
Плоскости
и
параллельны тогда и только тогда, когда
векторы
и
коллинеарны (
):
.
Плоскости
и
перпендикулярны тогда и только тогда,
когда векторы
и
ортогональны (
):
5. Расстояние
от точки
до плоскости
:
равно
(1.5)
6. Уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей
и
,
следует искать в виде
,
(1.6)
где
и
некоторые числа.
Множество плоскостей, проходящих через линию пересечения двух заданных плоскостей, называется пучком плоскостей.
Решение типовых задач
Задача 1.1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
,
если задан нормальный вектор
.
Р
ешение.
Воспользуемся уравнением (1.2):
Подставляя координаты вектора
и точки
,
получим
Ответ:
Задача 1.2. Составить уравнение
плоскости, проходящей через точку
параллельно векторам
и
(их называют направляющими векторами
плоскости).
Решение.
П
ервый
способ. Пусть
– произвольная точка на плоскости.
Тогда векторы
и
(рис. 1.2) должны быть компланарны, т. е.
их смешанное произведение должно быть
равно 0:
.
Запишем смешанное произведение через
координаты векторов. Получим
Подставим заданные координаты и вычислим определитель разложением по элементам первой строки:
,
или
.
Окончательно:
Второй способ. Найдем сначала вектор
(рис. 1.1). Очевидно, что вектор
нормали
к плоскости должен быть ортогонален
также векторам
и
.
Поэтому его можно выбрать как
векторное произведение
Затем выпишем общее уравнение плоскости,
используя
,
(см.
формулу (1.2)). Получим
Ответ:
Полезная
формула. Если
плоскость проходит через точку
,
и
– ее направляющие векторы, то уравнение
плоскости имеет вид
(1.7)
Замечание. Первый способ решения
задачи предпочтительнее. Второй способ
отличается лишь тем, что в нем смешанное
произведение трех векторов
,
,
вычисляется последовательно. А именно:
сначала находим векторное произведение
и затем результат умножаем скалярно на
вектор
.
В дальнейшем при решении задач будем
придерживаться первого способа.
Задача 1.3. Составить уравнение
плоскости, проходящей через точки
и
параллельно вектору
.
Р
произвольная точка на плоскости.
Тогда векторы
,
и
компланарны (рис. 1.3). Запишем условие
компланарности векторов через их
координаты:
Подставляя заданные координаты, получим
или
Окончательно:
Ответ:
Полезная
формула. Если плоскость проходит
через две заданные точки
и
параллельно вектору
,
то ее уравнение имеет вид
(1.8)
Задача 1.4. Составить уравнение
плоскости, проходящей через точку
параллельно плоскости
Решение. В качестве вектора
искомой плоскости можно выбрать
нормальный вектор заданной плоскости,
так как эти плоскости параллельны. Таким
образом, имеем
и
.
Подставляя координаты
и
в уравнение (1.2), получим
Окончательно:
Ответ:
Задача 1.5. Найти величину острого
угла между плоскостями
и
Решение. Угол между плоскостями
равен углу между нормальными векторами
и
(см. формулу 1.4)).
Отсюда
Ответ:
Задача 1.6. Чему равен угол между
плоскостями
и
?
Решение. Найдем скалярное произведение
нормальных векторов
и
Следовательно, эти плоскости
перпендикулярны:
Ответ:
Задача 1.7. Составить уравнение
плоскостей, которые проходят через
точку
и отсекают на координатных осях отличные
от нуля отрезки одинаковой длины.
Р
ешение.
Воспользуемся уравнением плоскости
в отрезках на осях (1.3). Рассмотрим сначала
случай 1:
(рис. 1.4). Тогда
получим
Подставляя в уравнение координаты точки
,
найдем
Уравнение плоскости:
Затем следует
аналогично рассмотреть случаи 2:
3:
4:
Получим четыре различные плоскости.
Ответ:
Задача 1.8. Построить
плоскости, заданные уравнениями: 1)
;
2)
;
3)
;
4) плоскость
,
проходящую через точку
параллельно плоскости
;
5) плоскость
,
проходящую через точку
и ось
.
Р
ешение.
1. Плоскость
параллельна плоскости
и отсекает на оси
отрезок,
равный
(рис. 1.5).
2. Плоскость
параллельна оси
,
пересекает плоскость
по прямой
,
отсекая на осях
и
отрезки, равные 2 (рис. 1.6).
3
. Уравнение
плоскости запишем в отрезках на осях
(1.3):
.
Плоскость отсекает на осях
,
,
отрезки, длины которых равны соответственно
4, 3, 2 (рис. 1.7).
Рис. 1.8
4. Так как плоскость
параллельна плоскости
,
то ее нормальный вектор можно выбрать
в виде
.
Тогда согласно формуле (1.2) уравнение
плоскости
будет
,
где
по условию задачи. Таким образом, получаем
(рис. 1.8).
5
.
Плоскость
проходит через ось
.
Поэтому ее нормальный вектор имеет вид
.
Так как плоскость проходит через начало
координат
,
то коэффициент
в уравнении
плоскости (1.1) равен 0. Подставляя
координаты точки
в уравнение
,
получаем
(рис. 1.9).
Задача 1.9. Составить уравнение
плоскости, проходящей через три заданные
точки
Р
ешение.
Пусть
произвольная
точка на плоскости. Тогда векторы
,
,
компланарны (рис. 1.10). Запишем условие
компланарности этих векторов через их
координаты:
Подставим
значения координат и найдем уравнение
плоскости:
или
Ответ:
Полезная
формула. Если плоскость проходит
через три заданные точки
не лежащие на одной прямой, то ее уравнение
имеет вид
(1.9)
Задача 1.10. Даны
координаты вершин тетраэдра:
,
,
,
(рис. 1.11). Составить уравнения его граней.
Р
ешение.
Найдем уравнение грани
.
Для этого подставим в формулу (1.9)
координаты вершин
:
,
или
.
Уравнение искомой грани имеет вид
Уравнения граней
,
,
найдите самостоятельно.
Ответ:
.
Задача 1.11. Найти расстояние от точки
до плоскости
Решение. Используем формулу (1.5):
.
Ответ:
Задача 1.12. Найти расстояние между параллельными плоскостями
.
Решение.
Первый способ.
Выберем
произвольно точку
на плоскости
.
Пусть, например,
Тогда
Следовательно,
Найдем расстояние
от
точки
до плоскости
,
по формуле (1.5):
В
торой
способ. Очевидно, что плоскости
и
лежат по одну сторону относительно
начала координат
Обозначим через
расстояние от начала координат
до плоскости
,
через
– до плоскости
(рис. 1.12).
,
Расстояние между плоскостями равно
.
Отсюда находим
Ответ:
Замечание. Если бы плоскости
находились по разные стороны от начала
координат (рис. 1.13), то расстояние между
ними было бы равно
