Задача №7
Задание. Получить численное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее заданному начальному условию на отрезке методом Эйлера и классическим методом Рунге-Кутта четвертого порядка.
Решение. Метод Эйлера.
,
,
,
.
Для решения используем формулу Эйлера
,
.
Результаты представим в таблице:
-
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1
1.1
1.83
1.254
1.315
1.369
1.415
1.456
1.491
1.521
1.547
Решение. Метод Рунге-Кутта.
Проинтегрируем
уравнение
с начальным условием
на отрезке
с шагом
.
Здесь
.
Находим числа:
;
;
;
;
Следовательно,
,
т.е.
.
Аналогичным образом находим
;
;
;
;
Следовательно,
,
т.е.
и т.д.
Задача №8
Задание. Найти численное решение линейной краевой задачи для дифференциального уравнения 2-го порядка:
1) конечно-разностным методом, используя аппроксимацию производных второго порядка и шаг ;
2) методом
прогонки с точностью
шаг
.
Решение. Метод конечных разностей.
Разбив отрезок
на части с шагом
,
получим четыре узловые точки с абсциссами
.
Две точки
и
являются граничными, а две другие –
внутренними. Данное уравнение во
внутренних точках заменим конечно-разностным
уравнением
(
).
Для краевых условий составим конечно-разностное уравнение в граничных точках
Данная задача сводится к решению системы уравнений
Выполнив преобразования, имеем
Подставив значение
в третье уравнение, получим для определения
остальных неизвестных систему
Решая эту систему уравнений, получим
Решение. Метод прогонки.
Определим решение задачи
методом прогонки.
Здесь
,
,
,
,
,
;
узловые точки имеют абсциссы
;
коэффициенты
,
;
.
Метод прогонки состоит из «прямого хода», в котором определяют коэффициенты
,
,
,
а также
,
,
,
.
После выполнения «прямого хода» переходят к выполнению «обратного хода», который состоит в определении значений искомой функции по формулам
,
.
Здесь
,
,
,
,
;
.
Все вычисления будем располагать в таблице:
|
|
|
|
|
|
|
0 1 2 3 4 5 6
|
2.00 2.05 2.10 2.15 2.20 2.25 2.30
|
- -1.903077 -1.900803 -1.898535 -1.896273 -1.894017 - |
- 0.902497 0.900238 0.897983 0.895734 0.893491 - |
-1.02564 -1.02308 -1.02063 -1.01830 -1.01611 -1.01406 - |
0.025000 0.095519 0.025878 0.026090 0.026179 0.026123 - |
2.2490 2.2178 2.1933 2.1748 2.1618 2.1537 2.15 |
Ответ:
-
2.00
2.05
2.10
2.15
2.249
2.218
2.193
2.175
2.20
2.25
2.30
2.162
2.154
2.150