6.3.5. Теорема Остроградского-Гаусса

Существует ряд интегральных теорем, описывающих свойства векторного поля в целом. Одной из них является теорема Остроградского-Гаусса.

Рассмотрим физический смысл этой теоремы. Пусть в области задано векторное поле .

Теорема Остроградского-Гаусса утверждает, что величина потока векторного поля изнутри любой замкнутой поверхности равна суммарной мощности источников поля, заключенных внутри этой поверхности, т. е.

(6.3.6)

где – область, ограниченная поверхностью .

Равенство (6.3.6) является векторной формой теоремы Остроградского-Гаусса.

Заменим дивергенцию, стоящую под знаком тройного интеграла, ее выражением через частные производные по формуле (6.3.5), а скалярное произведение запишем через координаты векторов и . Тогда равенство (6.3.6) примет вид

где , , .

Это выражение называют теоремой (формулой) Остроградского-Гаусса в координатной форме. Сама теорема формулируется следующим образом:

Теорема 1 (Остроградского-Гаусса). Интеграл от дивергенции векторного поля по объему равен потоку вектора через поверхность, ограниченную этим объемом.

Теорема Остроградского-Гаусса дает еще один способ вычисления потока векторного поля через замкнутую поверхность путем сведения его к тройному интегралу по области , заключенной внутри поверхности.

Пример 8. Найти поток векторного поля через боковую поверхность конуса , заключенную между плоскостями и в направлении внешней нормали.

Решение. Рассмотрим тело , границей которого служит коническая поверхность ( ) и плоскость ( ). На поверхности , являющейся объединением поверхностей и , возьмем внешнюю нормаль . Поток П через поверхность складывается из потоков П и П через поверхности и соответственно. Следовательно, интересующий нас поток может быть найден как разность потоков: П =П–П . Поток П может быть найден по формуле Остроградского-Гаусса:

П .

Последний интеграл представляет собой объем тела . Тело представляет собой конус с высотой и радиусом основания . По известной из элементарной математики формуле, его объем равен . Отсюда П . Поток П (через плоскость ) может быть вычислен довольно просто. Внешней единичной нормалью к плоскости является вектор . Поэтому

П .

Поскольку на , а элемент площади ( ) равен элементу площади ее проекции на плоскость ( ), то последний интеграл сводится к двойному:

,

где – круг с центром в начале координат и радиуса 1. Этот интеграл выражает площадь этого круга, которая равна . Следовательно, искомый поток через коническую поверхность равен П =П–П = - =0.

Пример 9. Вычислить поверхностный интеграл

,

где – внешняя сторона эллипсоида

.

Решение. Данный поверхностный интеграл представляет собой поток векторного поля изнутри эллипсоида. Поле параллельно оси в точках, расположенных выше плоскости , для точек с отрицательной координатой оно направлено в противоположную сторону (рис. 6.3.9).

Рис. 6.3.9. Замкнутая эллиптическая поверхность в векторном поле (иллюстрация к примеру 9)

Для вычисления потока применим теорему Остроградского-Гаусса.

,

.

Поток равен объему эллипсоида. Убедимся в этом. В тройном интеграле сделаем замену переменных интегрирования

,

,

,

.

Уравнение эллипсоида в новой системе примет вид

или

; .

Заменяя в интеграле элемент объема выражением через новые переменные и расставляя пределы изменения , , внутри эллипсоида, получим

.

Искомый поверхностный интеграл будет равен

.

Так как поток положителен, внутри эллипсоида есть источники векторного поля.

Физический смысл дивергенции поля зависит от физического смысла вектора . Так, если рассматривается поле скоростей при течении газа, то div равна скорости относительного увеличения бесконечно малого объема, а div равна плотности источника масс. Например, если в процессе течения газа его масса не меняется (такое изменение может получиться в результате химической или какой-либо подобной реакции), то div ; в то же время div , или в зависимости от того, будет ли газ в процессе течения расширяться, сжиматься или не менять своей плотности. Для электрического поля дивергенция, т.е. div пропорциональна плотности заряда, распределенного в пространстве и т.д.

Пример 10. Вычислить поток векторного поля через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью и координатными плоскостями

, .

Решение.

Вычисляем поток векторного поля с помощью поверхностного интеграла

П ,

где - внешняя сторона поверхности пирамиды .

Вначале вычислим поток через каждую из четырех граней пирамиды. Грань лежит в плоскости , единичная нормаль к этой грани , . Тогда поток векторного поля через грань

П

Грань лежит в плоскости , единичная нормаль к этой грани , ,

П .

Грань лежит в плоскости , единичная нормаль к данной грани , ,

.

И, наконец, грань лежит в плоскости , нормаль к этой грани

,

,

, , .

Поэтому

,

П

Далее находим поток через полную поверхность пирамиды :

П=П +П +П +П .

Пример 11. Вычислить поток векторного поля через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью и координатными плоскостями с помощью теоремы Остроградского-Гаусса. Данные из примера 10.

Решение. Вычислим поток векторного поля через поверхность пирамиды по формуле Остроградского-Гаусса:

П .

Находим:

, , .

Так как интеграл равен объему прямоугольной пирамиды , то

П