6.3.2. Вычисление потока векторного поля путем сведения к трем двойным интегралам

Существует несколько способов вычисления потока векторного поля через поверхность.

Способ сведения поверхностного интеграла второго рода к трем двойным интегралам равносилен разложению потока на три составляющие в направлении координатных осей через соответствующие плоские области , которые являются проекциями поверхности на координатные плоскости соответственно.

Запишем поток вектора в координатной форме:

П (6.3.3)

При этом считаем, что векторное поле и уравнение поверхности заданы, а также задано положительное направление нормали к поверхности.

Спроектируем поверхность и элемент поверхности , размером на плоскость (рис. 6.3.3, рис. 6.3.4).

Рис.6.3.3. Проекция поверхности и элемента поверхности на координатную плоскость

Рис. 6.3.4. Проекция элемента на координатную плоскость

Очевидно, что проекция элемента поверхности на плоскость , равная , выражается через размер элемента следующим образом:

Пр .

Аналогично находят проекции на плоскости и :

Пр , Пр . (6.3.4)

Заменяя в интеграле (6.3.3) произведения косинусов на равными им значениями по формулам (6.3.4), получим

П

Таким образом, вычисление потока свелось к вычислению трех поверхностных интегралов вида

; ; .

В этих интегралах можно перейти к двойным по плоским областям , которые являются проекциями поверхности на соответствующие координатные плоскости. Для этого нужно учесть, что значения подынтегральных функций должны быть взяты только в точках поверхности . Это просто сделать, если в первом интеграле переменную функции заменить ее выражением через и из уравнения поверхности . Во втором интеграле нужно выразить через и , а в третьем – через и . В результате получим

;

;

.

Знак каждого интеграла зависит от знака подынтегральной функции и угла, который образует нормаль к поверхности с соответствующей координатной осью. Так, для первого интеграла , для второго – и для третьего – .

Если углы тупые, то проекции элемента поверхности отрицательные.

6.3.3. Вычисление потока векторного поля путем сведения к одному двойному интегралу

Рассмотрим еще один способ нахождения потока векторного поля. Запишем его в координатной форме:

П ,

где , , – направляющие косинусы нормали к поверхности, – мера элемента поверхности. Пусть поверхность , через которую вычисляется поток, проектируется взаимно-однозначно на плоскость , т.е. ее уравнение можно однозначно разрешить относительно : . Проекция элемента поверхности на равна . Отсюда следует, что

.

Подставляя найденное значение для в координатную форму потока и заменяя его зависимостью от и из уравнения поверхности, получим двойной интеграл по области :

П=

Направляющие косинусы нормали к поверхности выражаются через ее уравнение по формулам

;

;

.

Таким образом, вычисление потока свелось к вычислению одного двойного интеграла по области .

Аналогично, поток векторного поля можно свести к двойному интегралу по области . При этом поверхность проецируют на координатную плоскость , а ее уравнение решают относительно : . Мера элемента поверхности будет выражаться через его проекцию на плоскость по формуле

.

Поток векторного поля через поверхность равен двойному интегралу по области :

П=

.

Направляющие косинусы нормального вектора к поверхности находят из ее уравнения следующим образом:

;

;

.

И, наконец, если поверхность проектируется однозначно на плоскость , то ее уравнение нужно решить относительно : .

В этом случае вычисление потока сводится к вычислению двойного интеграла по области :

П ,

где

;

;

.

Пример 1. Вычислить поток векторного поля через поверхность в сторону, определяемую вектором единичной нормали n к поверхности , если – часть плоскости , расположенная в октанте , а образует острый угол с осью .

Решение. Известно, что нормальным вектором к плоскости является вектор, координаты которого есть коэффициенты при неизвестных в уравнении плоскости. В нашем случае – это вектор . Поскольку , то нормаль к плоскости (а, значит, и единичная нормаль к этой плоскости) перпендикулярна векторному полю. Но тогда

П

Пример 2. Вычислить поток векторного поля через поверхность в сторону, определяемую вектором единичной нормали к поверхности , если – часть плоскости , расположенная в октанте , а образует острый угол с осью .

Решение.

Поток найдем методом проектирования на три координатные плоскости. Для этого воспользуемся формулой (6.3.2). Имеем:

П

Нормаль n к плоскости , образующая острый угол с осью , образует тупой угол с осью (нужную сторону поверхности задает единичная нормаль ; здесь , а , следовательно, образует острый угол с осью и тупой угол с осью ). Поэтому при сведении поверхностного интеграла к двойному по области перед двойным интегралом необходимо поставить знак минус:

П=

Пример 3. Вычислить поток векторного поля через поверхность в сторону, определяемую вектором единичной нормали к поверхности , если – часть параболоида , удовлетворяющая условию , а – внешняя нормаль к параболоиду.

Решение. Изобразим поверхность вместе с требуемой в условии задачи нормалью на рис. 6.3.5.

Рис. 6.3.5. Иллюстрация к примеру 3

Из геометрических соображений понятно, что единичная нормаль (так как она – внешняя нормаль) образует тупой угол с осью . Также ясно, что она образует острый угол с осью в тех точках, где и тупой в тех местах, где . Аналогично, образует острый (тупой) угол с осью в точках, где выполняется неравенство . Для вычисления потока векторного поля напишем интеграл 2-го рода:

П=

Вычислим каждый из трех интегралов отдельно. Для вычисления интеграла

разобьем поверхность на две части: и плоскостью ( отвечает той части параболоида, где ). Необходимость разбиения продиктована тем фактором, что нормаль на образует острый угол с осью (т.е. ), а на – тупой. Проекцией и , и на плоскость является одна и та же область , показанная на рис. 6.3.6. Следовательно,

Рис. 6.3.6. Иллюстрация к примеру 3

Знак минус перед вторым двойным интегралом поставлен, так как на нормаль образует тупой угол с осью (или, что то же самое, ). Из соображений симметрии понятно, что и

Осталось вычислить

Как отмечено выше, . Поэтому имеем:

где – проекция поверхности на плоскость . Для вычисления последнего интеграла перейдем к полярным координатам:

Таким образом, поток векторного поля равен