6.1.2 Скалярное поле

Определение 2. Если каждой точке пространства ставится в соответствие некоторая скалярная величина , то таким образом задается скалярное поле . Если каждой точке пространства ставится в соответствие вектор , то говорят, что задано векторное поле .

Согласно определению, скалярное поле – это функция точки

.

Примерами скалярных полей могут быть поля температуры, атмосферного давления, плотности, электрического потенциала. Примерами векторных полей являются поле силы тяжести, поле скоростей частиц текущей жидкости, магнитное поле и т. д.

Определение 3. Если функция ( ) не зависит от времени, то скалярное (векторное) поле называется стационарным; поле, которое меняется с течением времени, называется нестационарным.

Далее мы будем рассматривать только стационарные поля.

Если – область трехмерного пространства, то скалярное поле можно рассматривать как функцию трех переменных , , :

.

Если скалярная функция зависит только от двух переменных, например и , то соответствующее скалярное поле называют плоским. Например, температура вокруг бесконечного, равномерно нагретого цилиндра будет изменяться только в направлениях, перпендикулярных к цилиндру. Вдоль линий, параллельных цилиндру, температура будет одинаковой. В таких случаях говорят, что поле задано на плоскости или поле является плоско-параллельным, а функция является функцией двух переменных

.

Аналогично: вектор = , определяющий векторное поле, можно рассматривать как векторную функцию трех скалярных аргументов , и : = .

Вектор = можно представить в виде

,

где , , – проекции вектора на оси координат. Если в выбранной системе координат одна из проекций вектора = равна нулю, а две другие зависят только от двух переменных, то векторное поле называется плоским. Например, .

6.1.3. Характеристики скалярного поля

6.1.3.1. Поверхности и линии уровня

Скалярное поле имеет геометрическую, числовую и векторную характеристики.

Геометрической характеристикой скалярного поля = является поверхность уровня.

Определение 4. Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое место точек, в каждой из которых скалярная функция поля принимает одно и то же постоянное значение, т.е.

.

(Поверхность уровня еще называют эквипотенциальной поверхностью.)

В зависимости от физического смысла поля линии уровня могут называться изотермическими, изобарическими и т. п. поверхностями. Например, для равномерно раскаленной нити поверхности уровня температурного поля (изотермические) представляют собой круговые цилиндры, общей осью которых служит нить.

В случае плоского поля равенство представляет собой уравнение линии уровня поля. Совокупность линий уровня, соответствующих различным значениям функции , называют сетью линий уровня. Если взять довольно близкие значения , , и т. д. и построить для них линии уровня, то сеть этих линий очень наглядно характеризует поведение скалярного поля: где сети сгущаются, там поле изменяется очень быстро, где сеть разряжается, там поле изменяется медленно.

Пример 1. Определить вид поверхности уровня скалярного поля

и построить ее.

Решение. Поверхности уровня по определению задаются уравнением , где – некоторая константа. Например, при получаем плоскость , при – плоскость (или – уравнение плоскости в отрезках) и т.д. (Рис. 6.1.1.)

x

Рис. 6.1.1. Схематическое изображение поверхностей уровня скалярного поля

Пример 2. Определить вид поверхности уровня скалярного поля и построить ее .

Решение. Поверхности уровня в неявном виде задаются уравнением

,

где с – произвольная постоянная. Для положительных значений поля, т.е. при , получается семейство однополостных гиперболоидов вращения:

.

Если , поверхностями уровня будут двуполостные гиперболоиды вращения

.

И при поверхность уровня есть круговой конус с вершиной в начале координат

.

x

Рис. 6.1.2. Схематическое изображение поверхностей уровня скалярного поля

В зависимости от знака произвольной постоянной с поверхностями уровня могут быть одно- и двуполостные гиперболоиды. Если , то поверхность уровня есть конус . (Рис. 6.1.2.)

Вся область может быть заполнена поверхностями уровня, которые в совокупности как бы расслаивают поле. Через каждую точку поля проходит только одна поверхность уровня.