6.6.3.3. Гармоническое поле

Определение 3. Векторное поле называют гармоническим, если оно не имеет вихрей:

rotF ,

т.е. является потенциальным, и не имеет источников:

div ,

т.е. является трубчатым.

Так как гармоническое поле одновременно является и потенциальным и трубчатым, то оно обладает свойствами обоих этих полей. Кроме того, гармоническое поле имеет свое особое свойство. Его потенциалом, в отличие от потенциального, может быть не любая дифференцируемая функция, а только такая, которая удовлетворяет уравнению Лапласа. Это вытекает из следующего: поскольку гармоническое поле потенциальное, оно образовано градиентами

grad .

Однако гармоническое поле трубчатое, оно не имеет источников, следовательно,

div grad ,

что приводит к уравнению Лапласа:

Функции, которые являются решением уравнения Лапласа, получили название гармонических. Таким образом, потенциалом гармонического векторного поля являются гармонические функции.

Пример 4. Показать, что векторное поле

гармоническое.

Решение. Гармоническое поле не имеет источников и вихрей, т.е. является одновременно потенциальным и соленоидальным. Поэтому нужно найти ротор и дивергенцию. Координаты векторного поля равны:

.

Найдем ротор поля:

rot a .

Так как rot a , то поле потенциально.

Вычислим дивергенцию:

div .

Данное поле не имеет источников и вихрей, т.е. является гармоническим.

Пример 5. Показать, что функция является потенциалом гармонического поля.

Решение. Если данная функция – потенциал гармонического поля, то при подстановке ее в уравнение Лапласа

,

последнее должно обратиться в тождество.

Найдем частные производные второго порядка данной функции:

Подставляя найденные значения производных в уравнение Лапласа, получим .

Уравнение обратилось в тождество. Данная функция является потенциалом гармонического поля.

Вывод: мы ввели новые понятия – оператор набла и оператор Лапласа, научились оперировать ими. А также рассмотрели различные типы векторных полей – потенциальное, соленоидальное и гармоническое поля, привели примеры таких полей.

Контрольные вопросы и заданая для самопроверки

1. Дать определение скалярного и векторного поля

2. Геометрическая характеристика скалярного поля. Определение и формулы для поля и плоского поля.

3. Числовая характеристика скалярного поля. Определение и формулы для поля и плоского поля.

4. Объяснить физический смысл производной по направлению

5. Векторная характеристика скалярного поля. Определение

6. Физический смысл градиента Свойства градиента

7. Геометрическая характеристика векторного поля. Определение

8. Определение дивергенции векторного поля

9. Сформулировать теорему Остроградского-Гаусса

10. Дать определение циркуляции

11. Дать определение ротора векторного поля

12. Сформулировать теорему Стокса

13. Соленоидальное поле и его свойства

14. Потенциальное поле и его свойства

15. Гармоническое поле

16. Могут ли разные скалярные поля обладать одним и тем же набором поверхностей уровня?

17. Могут ли разные поверхности уровня скалярного поля U пересекаться?

18. Может ли у разных векторных полей быть один и тот же набор векторных линий?

19. Найти производную скалярного поля U в направлении градиента скалярного поля V

20. Какова связь между поверхностями уровня скалярного поля U и векторными линиями grad ?

21. Верно ли, что если линия, уравнение которой , является линией уровня некоторого скалярного поля U, то линия тоже является линией уровня того же скалярного поля?

22. Верно ли, что если в области ротор векторного поля F равен 0, то циркуляция этого векторного поля F по любому замкнутому контуру L, расположенному в равна 0?

23. Привести пример векторного поля:

а) потенциального и соленоидального

б) потенциального, но не соленоидального

в) не потенциального, но соленоидального

г) не потенциального и не соленоидального

24. Верно ли, что векторное произведение соленоидальных полей – потенциальное векторное поле?