6.6.3. Простейшие векторные поля

6.6.3.1. Потенциальное поле

К простейшим векторным полям относят потенциальное, соленоидальное и гармоническое. Рассмотрим свойства этих полей.

Определение 1. Векторное поле называют потенциальным, если оно образовано градиентами скалярной функции:

grad u .

Почти все силовые поля являются потенциальными (поле сил тяжести, электростатическое поле, магнитное и т.д.). Функцию , градиент которой образует векторное поле, называют его потенциалом. Координаты вектора потенциального поля

равны частным производным от потенциала, т.е.

Поэтому потенциальное поле можно задать одной скалярной функцией . Потенциальное поле обладает двумя очень важными свойствами. Во-первых, оно не имеет вихрей, поскольку

rot(grad u) ,

т.е. ротор во всех точках потенциального поля равен нулю.

Во-вторых, в потенциальном поле криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю. Это следует из теоремы Стокса:

(rotF .

Из второго свойства вытекает важное следствие: в безвихревом потенциальном поле величина криволинейного интеграла по незамкнутой линии не зависит от ее формы, а зависит только от координат начальной и конечной точек.

Пример 1. Проверить, будет ли потенциальным поле

.

Решение: Найдем ротор плоского поля в произвольной точке:

rot(F) ;

rot(F) .

Данное поле является потенциальным, так как во всех точках ротор равен нулю.

Пример 2. Доказать, что поле

потенциально. Найти потенциал поля.

Решение. В потенциальном поле нет вихрей. Найдем ротор поля в произвольной точке:

rot a

rot a .

А значит поле вектора потенциально.

Для нахождения функции , которая является потенциалом данного поля, возьмем криволинейный интеграл в этом поле по произвольной линии от точки А до точки В:

.

Так как поле потенциальное, его координаты равны частным производным от искомой функции :

.

С учетом этого криволинейный интеграл примет вид

.

Знаки интеграла и дифференциала взаимно уничтожаются, поэтому последнее равенство можно записать в виде

.

Если верхнюю границу взять переменной , а нижнюю зафиксировать , то искомая функция

или

.

От выбора точки зависит значение постоянной . Возьмем за точку начало координат: . В потенциальном поле криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, поэтому его можно вычислить как сумму трех интегралов по прямым , параллельным координатным осям.

На прямой .

На прямой x=const, .

На прямой const, y=const, .

С учетом этого потенциал поля вектора равен сумме трех интегралов:

Таким образом, потенциалом данного поля является функция

.

6.6.3.2. Соленоидальное поле

Определение 2. Векторное поле называют соленоидальным, если во всех его точках дивергенция равна нулю:

div .

Т.е. в области, где задано соленоидальное поле, нет источников поля. Соленоидальным полем является поле роторов, так как

div(rotF) ,

а также поле линейных скоростей точек вращающегося тела. Соленоидальное поле обладает следующим свойством: поток вектора поля через любое сечение векторной трубки, образованной векторными линиями, имеет одно и то же значение. Это свойство вытекает из теоремы Гаусса-Остроградского:

divF(p)=0.

Пример 3. Показать, что векторное поле является соленоидальным.

Решение. Согласно определению, поле вектора - соленоидально, если . Проекции векторного поля на координатные оси равны:

.

Найдем дивергенцию по формуле

div ,

предварительно вычислив частные производные:

тогда

div .

Следовательно, данное поле не имеет источников и является соленоидальным.