6.6.2. Векторные дифференциальные операции второго порядка

Двукратное применение оператора (набла) к скалярным и векторным полям получило название векторных дифференциальных операций второго порядка.

Рассмотрим эти операции.

Нахождение градиента. Эту операцию можно применять только к скалярным полям. После однократного применения оператора (набла), скалярной величиной является только дивергенция. Найдем градиент:

grad(div(F)) .

Таким образом, двукратное применение оператора (набла) к векторному полю порождает новое векторное поле.

Следует отметить, что операция нахождения градиента от дивергенции на практике встречается крайне редко.

Вычисление дивергенции. Поскольку дивергенция является характеристикой векторных полей, то ее можно найти от градиента и ротора:

div(gradu) .

Двукратное применение оператора (набла) к скалярному полю порождает новое скалярное поле, называемое Лапласианом первоначального поля . Оператор , равный скалярному произведению символического вектора (набла) самого на себя, называют оператором Лапласа (лапласианом), его обозначают:

.

Скалярный оператор Лапласа играет большую роль в математической физике. Найдем дивергенцию ротора:

div(rot(F))=( rot(F)) .

Это простое свойство имеет важное следствие. Именно, для любого поля F можно наряду с векторными линиями рассматривать вихревые линии, т.е. векторные линии поля rot F. Однако дивергенция любого векторного поля равна плотности источников векторных линий этого поля. Поэтому формула говорит, что вихревые линии не могут иметь ни источников, ни стоков, т.е. они не могут ни начинаться, ни кончаться.

Вычисление ротора. Ротор так же, как и дивергенция, характеризует векторное поле. Следовательно, его можно найти от градиента и ротора:

rot(grad u)=[ grad u] .

Векторное произведение двух коллинеарных векторов равно нулю.

Следовательно, поле градиентов не имеет вихрей:

rot(rot(F)) .

Раскрывая двойное векторное произведение, получим новое векторное поле вида

rot(rot(F)) ;

rot(rot(F))=grad(divF) .

Таким образом, двукратное применение оператора (набла) к скалярным и векторным полям дает пять дифференциальных операций, две из них div(rot(F)) и rot(grad u) тождественно равны нулю. Остальные порождают новые векторные и скалярные поля, среди которых особое значение имеет скалярное поле лапласиана div(grad u).

Дифференциальные операции второго порядка удобно свести в таблицу:

	Скалярное поле	Векторное поле
	grad	div	rot
grad		grad(div a)
div	div(gradu)= u		div(rot a)=0
rot	rot(grad u)=0		rot(rot a)= grad(div a) – a

Пример 2. Законы электромагнетизма описываются уравнениями Максвелла в дифференциальной форме:

, , , .

Иначе:

rotH, (6.6.1)

div , (6.6.2)

rotE, (6.6.3)

div (6.6.4).

В данном случае нет зарядов и токов, а , – векторы напряженности электрического и магнитного полей; – электрическая и магнитная проницаемость; с – скорость света.

Если продифференцировать (6.6.1) по t и подставить из (6.6.3), то получим

или .

Преобразуем правую часть по формуле:

.

Итак, для векторного поля имеем уравнение

.

Мы получили одно из основных уравнений математической физики, называемое волновым уравнением.

Вывод: мы ввели дифференциальные операции первого и второго порядка и рассмотрели принципы работы с этими операторами.