Лекция 6.6. Векторные дифференциальные операции первого и второго порядка. Специальные виды векторных полей и их свойства

6.6.1. Векторные дифференциальные операции первого порядка

Напомним, что со скалярным полем u связывается векторное поле его градиента

grad ,

где x, y, z – декартовы координаты. Впрочем, градиент может быть определен и независимо от выбора системы координат, на основе понятия производной по направлению; поэтому градиент, как и дальнейшие рассматриваемые нами «производные пол », связан с заданным полем инвариантно. С векторным полем F связываются скалярное поле его дивергенции

div

и векторное поле его ротора

rot ;

дивергенция также допускает инвариантное определение на основе понятия потока, а ротор – на основе понятия циркуляции.

Гамильтон заметил, что операции grad u, div F, rot F можно более просто записать, если ввести символ

,

называемый набла (от греческого – арфа, форма которой напоминает значок ). Сам по себе этот символ представляет знак действия над полем, т.е. оператор. Этот оператор Гамильтона векторно-дифференциальный и при своем действии обладает как свойствами вектора, так и свойствами оператора дифференцирования.

Применение символического вектора к скалярным и векторным полям получило название дифференциальных векторных операций первого порядка.

Рассмотрим эти операции. Пусть даны поля:

1. скалярное:

2. векторное:

1. Умножение вектора на скалярную функцию дает вектор, равный градиенту скалярного поля:

grad u

2. Применить символический вектор векторному полю можно двумя способами: скалярно и векторно умножить на вектор

Скалярное произведение двух векторов

и

дает дивергенцию векторного поля

div

3. Векторное произведение этих векторов дает ротор векторного поля

,

rot .

Таким образом, градиент, дивергенция и ротор являются результатом однократного применения оператора (набла) к скалярным и векторным полям. В формулах, содержащих , этот оператор действует как дифференциальный только на расположенный за ним множитель; результат такого действия дальнейшие множители уже не дифференцирует. Поэтому следует избегать записи вида , которую более естественно понимать как (gradu)v=vgrad u, но иногда ее понимают как grad , а это, конечно, не одно и то же.

Если же в каком-либо выражении за наблой нет множителей, то оно представляет собой оператор; например,

–

это скалярный дифференциальный оператор, который может действовать на скалярное или векторное поле. На основании формулы для производной по направлению этот оператор можно записать также в виде , где – направление вектора F. В частности, для скорости изменения скалярного или векторного поля вдоль траектории получим выражение

.

При действиях с оператором надо пользоваться правилами векторной алгебры и правилами дифференцирования. Например,

rot rotA+rotB,

grad gradu, , ( )

так как умножение на скаляр и дифференцирование обладают этим свойством линейности. В то же время в формуле ( ) нельзя было бы считать зависящим от точки пространства, т.е. скалярным полем, так как тогда получилось бы, что мы вынесли переменную величину за знак производной. Чтобы охватить этот случай, заметим, что в обычной формуле для производной произведения

( )

первое слагаемое получается, если в процессе дифференцирования считать v постоянным, а второе – если в этом процессе считать u постоянным. Поэтому дифференцирование ( ) можно выполнить так:

,

где индекс с указывает, что при дифференцировании к данной величине надо относиться как к постоянной; конечно, если величина стоит вне знака дифференцирования, то индекс с у нее можно снять. Таким образом,

grad ugradv+vgradu.

Заметим, что выполняя действия с оператором «набла», удобно использовать так называемый символический метод, основанный на применении следующих правил:

1. Если оператор действует на какое-либо произведение, то вначале используются его дифференциальные, а потом векторные свойства.

2. Чтобы отметить тот факт, что не воздействует на какую-либо величину, входящую в состав сложной формулы, эту величину помечают индексом с (const).

3. Все величины, на которые оператор не действует, в окончательном варианте ставятся впереди него.

Пример 1. Используя символический метод, вычислить div .

Решение. Воспользуемся свойствами векторного произведения:

div

rot rot .

Оператор (набла) к различным полям можно применять дважды. Результаты этого применения играют не менее важную роль, чем градиент, дивергенция, ротор.