6.4.2. Циркуляция и ротор векторного поля
Пусть векторное поле образовано вектором
.
Возьмем в этом поле замкнутую кривую L и выберем на ней определенное направление. Обычно положительным считают обход против часовой стрелки, отрицательным – по часовой стрелке (рис. 6.4.5).
Рис. 6.4.5. Контур L (положительный обход)
Пусть
– радиус-вектор точки M
на контуре L.
Известно, что вектор
направлен по касательной к кривой в
направлении ее обхода и
,
где
– дифференциал дуги кривой (
).
Определение
2. Криволинейный
интеграл по замкнутому контуру L
от скалярного произведения вектора
на вектор
,
касательный к контуру L,
называется циркуляцией
вектора
вдоль L,
т.е.
Ц
(6.4.4)
Рассмотрим различные формы записи циркуляции. Так как
Пр
,
где
– проекция вектора F
на касательную
,
проведенную в направлении обхода кривой
L,
то равенство (6.4.4) можно записать в виде
Ц
или
Ц
. (6.4.5)
Циркуляция Ц, записанная в виде (6.4.5) имеет простой физический смысл: если кривая L расположена в силовом поле, то циркуляция – это работа силы F поля при перемещении материальной точки вдоль L.
Отметим,
что вдоль замкнутых векторных линий
циркуляция отлична от нуля, потому что
в каждой точке векторной линии скалярное
произведение
сохраняет знак: положительный, если
направление вектора F
совпадает с направлением обхода векторной
линии; отрицательный – в противном
случае.
Пример
5. Найти
циркуляцию плоского векторного поля
по замкнутой кривой L
в положительном направлении, если
,
L
– окружность, задаваемая уравнением
.
Решение. Запишем параметрические уравнения окружности:
,
,
.
Находим
,
.
Тогда циркуляция поля F вдоль кривой L будет равна:
Ц
Циркуляция – скалярная величина. Если выбран контур, то ее значения зависят от характера векторного поля и от положения контура в этом поле, т.е. с помощью циркуляции можно охарактеризовать степень завихренности векторного поля в различных его местах. Поясним это на примерах.
Пример 6. Рассмотрим поле скоростей равномерно текущей жидкости v=const (Рис. 6.4.6).
Рис. 6.4.6. Замкнутый контур L в поле скоростей равномерно текущей жидкости
В качестве плоского замкнутого контура L возьмем пробное колесико с радиальными лопатками, которое может вращаться вокруг оси , перпендикулярной плоскости контура. При помещении колесика в поток жидкости в любом месте оно вращаться не будет.
Это говорит о том, что циркуляция вектора скорости v по контуру колесика равна нулю, т.е. поле не имеет завихренности.
Пример 7. Пусть поток жидкости, подобно твердому телу, вращается, например, вокруг оси, параллельной оси Oz (см. рис. 6.4.7).
Рис. 6.4.7. Замкнутый контур в поле скоростей точек вращающейся жидкости
Очевидно, при помещении в него пробного колесика, колесико будет вращаться, причем тем быстрее, чем больше циркуляция поля скоростей по его контуру.
Скорость вращения колесика будет зависеть от двух причин: от расстояния между контуром и осью вращения поля, а также от того, как ориентирована ось контура по отношению к оси вращения поля. В данном месте циркуляция будет максимальной, если ось контура совпадет с осью вращения поля.
Из приведенных примеров следует, что с помощью циркуляции можно охарактеризовать степень завихренности поля в различных его местах. Для этого нужно исключить зависимость циркуляции от размеров и формы контура.
С этой целью вводится понятие плотности циркуляции поля в точке и понятие ротора.
Пусть векторное поле образовано вектором
в
области D.
Возьмем в нем произвольную точку
и проведем из нее произвольный вектор
n.
В плоскости, перпендикулярной вектору
n
и содержащей точку М,
построим замкнутый контур L.
Направление обхода контура возьмем
положительным, т.е. согласуем его с
направлением n
по правилу правого винта.
Циркуляция векторного поля по контуру L вдоль оси n
Ц
.
Разделим
циркуляцию по контуру L
на площадь контура
и перейдем к пределу, стягивая контур
в точку М.
Предел, если он существует, называют
плотностью циркуляции поля в точке
вокруг оси n,
обозначают
Ц
(6.4.6)
В одной и той же точке М плотность циркуляции поля вокруг различных осей неодинакова. Ее максимальное значение в данной точке будет вокруг оси , которая совпадает с осью вращения поля.
Определение 3. Вектор, длина которого равна максимальной плотности циркуляции поля в данной точке, называют ротором или вихрем поля в этой точке, обозначают
|rot(F(M))|
Ц
Направлен ротор по оси, вокруг которой плотность циркуляции максимальна. Величина плотности циркуляции поля в точке М вокруг произвольного направления равна проекции ротора в данной точке на это направление.
Если векторное поле задано тремя функциями
,
которые имеют непрерывные частные производные в области D, то координаты ротора в произвольной точке определяют по выражению
rot(F(M))
(6.4.7)
Данная формула трудна для запоминания. Поэтому проекции ротора на координатные оси обычно находят путем раскрытия определителя по элементам первой строки:
rot(F)
Пример 8. Вычислить дивергенцию и ротор векторного поля
.
Решение.
По определению,
.
В нашем случае
,
,
.
Отсюда находим
,
,
.
Следовательно, div
.
Вычислим ротор поля F:
rotF
Отметим некоторые свойства ротора.
1.
если
– постоянный вектор, то rotF
;
2.
rot
rot
,
где
c=const;
3.
rot
rot
rot
,
т.е. ротор суммы двух векторов равен
сумме роторов слагаемых;
4. если U – скалярная функция, а – векторная, то
rot
rot
+grad
.
Так как ротор имеет в каждой точке пространства иное значение, то ротор векторного поля образует новое векторное поле.
Ротор, определение (6.4.7) которого привязано к выбранной системе координат, на самом деле связан с полем инвариантно, т.е. не зависит от выбора системы координат, так как правая часть формулы (6.4.6) не зависит от такого выбора, а знание проекции вектора на любое направление определяет этот вектор однозначно.
На следующем рисунке (рис. 6.4.8) показано несколько простых примеров векторных полей и указан их ротор, который можно посчитать по формуле (6.4.7).
а) б) в)
Рис. 6.4.8. Примеры векторных полей
а)
F=const,
rot
;
б)
F=cyj,
rot
;
в)
,
rot
.
Третий
пример изображает поле скоростей при
вращении абсолютно твердого тела вокруг
оси Oz
с угловой скоростью
;
из этого рисунка следует, что при таком
вращении поле линейных скоростей имеет
постоянный ротор, равный удвоенному
вектору угловой скорости. Коши показал,
что при произвольном движении сплошной
среды – газа, жидкости или твердого
тела – каждый малый объем участвует
одновременно в нескольких движениях,
для которых поля скоростей имеют вид,
изображенный на рисунке (поступательное,
деформационное и вращательное движения).
Так как ненулевой ротор получается лишь
для вращательного движения, то мы видим,
что при произвольном движении среды
ротор поля линейных скоростей частиц
равен в каждой точке удвоенному вектору
угловой скорости соответствующей
частицы. Конечно, в общем случае ротор
получается в различных точках различным.
Таким образом, при течении жидкости или
газа отличие ротора поля линейных
скоростей от нуля указывает на наличие
завихренности, чем и объясняется название
«ротор».
Особенно простой вид имеет ротор плоского поля
;
действительно, в силу формулы (6.4.7) получаем в этом случае
rot
Пример
9. Найти ротор
поля
=grad
.
Решение. Координаты вектора поля, образованного градиентами скалярной функции равны
;
.
Найдем ротор в произвольной точке
rot[grad
]
.
Данное поле градиентов не имеет вихрей.
Пример 10. Найти максимальную плотность циркуляции векторного поля {z2y; x2z; y2x} в точке Р0(1;1;1).
Решение. Найдем координаты ротора в произвольной точке
rot
.
Координаты ротора в точке Р0(1;1;1) равны
rot
(1;1;1)
.
Максимальная плотность циркуляции поля в точке Р0(1;1;1) равна длине ротора
maxЦ
.
Пример 11. Найти направление, вокруг которого плотность циркуляции векторного поля {zx, xy, yz} в точке Р(2;1;2) максимальна.
Решение. Координаты ротора в произвольной точке равны
rot
(P)
=
=
.
Его координаты в точке Р(2;1;2):
rot
(2;1;2)=
.
Направление, вокруг которого плотность циркуляции максимальна, является направлением ротора. Найдем его направляющие косинусы:
;
;
.
Зная углы, которые образует ротор с координатными осями, легко найти направление, вокруг которого плотность циркуляции максимальна.