12. Основы теории подобая а анализа размерностей. Принципы моделирования 71

Отношение сил, обусловливающих движение частиц, должно быть равно отношению возникающих при этом инерционных сил. Значит

, с1ы>'

Г ^т ~сН^г.

/" „ Лт"

' т

йп"

ИЛИ

Р т' йт’ йтГ

/'' ~т"йт"йт'

Как отмечалось выше, отношения приращений величин, входящих в константы подобия, можйо заменить отношениями самих величин, т. е. знаки дифференциалов могут быть отброшены. Таким образом

т'ш'т"

Г т"тГ т'

ИЛИ

к_г.

откуда

к_тЬ{

^с=/гг ^{= 1} (^п-⁷¹>

Величину С, составленную из констант подобия, называют и н д и • каторомподобия.

Заменяя в выражении (11,71) константы подобия отношениями соот­ветствующих величин и перенося в левую часть все величины для натуры, а в правую — для модели, находим

/V _ Г**

Таким образом, получен безразмерный комплекс величин, значения которого одинаковы для сходственных точек обеих систем. Этот комплекс называют критерием Ньютона и обозначают

-^-=ісіет = Ке (И,72)

тш ' '

или, учитывая, что т = //ш

Как видно из приведенного подобного преобразования, критерий Ньютона характеризует отношение действующей на частицу силы к силе инерции. Это означает, что критерий Ньютона (как и любой инвариант подобия) выражает величину действующей на частицу силы в относительных единицах, причем за масштаб силы принята сила инерции.

Как будет показано ниже, ряд критериев гидродинамического подобия отражает соотношения между действующими в потоке силами, а именно между силами тяжести, давления, трения, и силой инерции. Таким обра­зом, эти критерии представляют собой, по существу, частные случаи критерия Ньютона.

На основании выражения (11,71) первая теорема подобия может быть сформулирована также следующим образом: у подобных явлений индика­торы подобия равны единице.

Гл. //. Основы гидравлики. Общие вопросы прикладной гидравлики

Аналогично тому, как было найдено выражение критерия Ньютона; можно- путем подобного преобразования соответствующих дифференциаль­ных уравнений получить выражения других критериев подобия. Просле­дим последовательность такой операции на примере подобного преобра­зования второго закона Ньютона.

1. Зная дифференциальное уравнение, / = описывающее дан­ный класс явлений, формулируют подобие условий однозначности для группы подобных явлений, т. е. задают константы подобия, выражающие

отношения физических величин, входящих в это уравнение, kf (для

сил), k_m (для масс), k_w (для скоростей) и к_х (для времен).

2. Каждую величину, входящую в дифференциальное уравнение, умножают на соЛ-ветствующую константу подобия и выносят константы, как постоянные величины, за знак дифференциала:

и d (k_ww) k_mk_w _ dw-

*// — RtnW ■~r^-;7—7“ — m —

" d(k_xc) k_x 4i

При этом если в уравнение входят производные более высоких поряд­ков, чем первый, для любой физической величины (и)

dⁿ (k_uu) _ k_u dⁿu d (k_xx)ⁿ k'l dxⁿ

3. Исходное и преобразованное таким образом уравнения могут быть тождественны лишь при условии, что индикаторы подобия равны еди­нице. В данном случае это условие имеет вид

С — = 1

\ кггЛш

4. Заменяют масштабные множители в индикаторе подобия отноше­ниями соответствующих величин и находят критерии подобия:

т±) ,

или

/У ... Г*

m’w' m"w"

откуда

• idem = Ne

mw

Такая последовательность действий для получения критериев подобия применима при подобном преобразовании любых дифференциальных уравнений.

Однако возможен также формально другой и обычно более простой способ подобного преобразования дифференциальных уравнений: крите­рии подобия находят, деля одну часть уравнения на другую и отбрасывая знаки математических операторов.

Действительно, полученный выше критерий Ne = можно рас­сматривать как частное от деления / на т после отбрасывания знаков

, , dw w

дифференциала, т. е. учитывая,

В случае преобразования уравнений, в которые входят производные не первого, а более высокого порядка (в частности, второго), при отбра­

сывании знаков операторов соблюдается указанное выше правило замены переменных, входящих в константы подобия, например

или г, может быть заменена на некоторый характерный линейный раз­мер I с привлечением параметрических критериев, или симплексов геоме­трического подобия.

Первая теорема подобия указывает, какие величины следует измерять при проведении опытов, результаты которых требуется обобщить: надо измерять те величины, которые входят в критерии подобия.

Вторая теорема подобия была доказана Бэкингемом, Федерманом и Афанасьевой-Эренфест. Согласно этой теореме, решение любого дифференциального уравнения, связывающего между собой перемен­ные, влияющие на процесс, может быть представлено в виде зависимости между безразмерными комплексами этих величин, т. е. между крите­риями подобия.

Если обозначить критерии подобия через л_а, л₃, . . п_п, то реше­ние дифференциального уравнения может быть представлено в общем виде:

Такие уравнения называют уравнениями в обобщенных переменных (обобщенными), или критериальными уравнениями.

Критерии подобия, которые составлены только из величин, входящих в условия однозначности, называют определяющими. Крите­рии же, включающие также величины, которые не являются необходи­мыми для однозначной характеристики данного процесса, а сами зависят от этих условий, называют определяемыми. Какой из критериев является определяемым, зависит от формулировки задачи. Например, в случае движения жидкостей по трубам, если заданы форма трубы (т. е. отношение длины ее к диаметру), физические свойства жидкости (вяз­кость, плотность) и распределение скоростей у входа в трубу и у ее сте­нок (т. е. начальные и граничные условия), то совокупность этих условий однозначно определяет скорость в любой точке трубы и перепад давлений (напора) между любыми ее двумя точками. При такой формулировке задачи, когда находится перепад давлений, критерий гидродинамиче­ского подобия, в который, кроме условий однозначности, входит вели­чина Ар, зависящая от них, будет определяемым.

Из критериального уравнения, представляющего собой функциональ­ную зависимость между критериями подобия, рассчитав предварительно значения определяющих критериев, находят значение определяемого критерия, а из него — значение интересующей нас величины. Таким образом, если определяемым является некоторый критерий л_1; то урав­нение (11,74) удобнее представлять в виде

Вторая теорема подобия отвечает на вопрос, как обрабатывать резуль­таты опытов, проведенных й.а моделях: их надо представлять в виде функ­циональной зависимости между критериями подобия.

Третья теорема подобия, или теорема М. В. Кирпичева и А. А. Гухмана, формулирует необходимые и достаточные условия подо­бия явлений: подобны те явления, которые описываются одной и той же системой дифференциальных уравнений и у которых соблюдается подобие условий однозначности. Подобию же условий однозначности при идентич­ности дифференциальных уравнений, описывающих процессы, отвечает

(11,73)

При этом пространственная координата х, так же как координата у

^2» Я₃ Пп) — О

(11,74)

(II,74а)

Гл. II. Основы гидравлики. Общие вопросы прикладной гидравлики

равенство определяющих критериев подобия. Значит, третья теорема подобия может быть сформулирована и так: явления подобны, если их опре­деляющие критерии численно равны.

Следствием равенства определяющих критериев, согласно уравне­нию (II,74а), является равенство определяемых критериев для модели и натуры. Поэтому_зависимость типа уравнения (II,74а), полученная обоб­щением результатов опытов на модельной установке, будет справедлива (в тех же пределах изменения определяющих критериев) для всех подоб­ных процессов, в том числе для натуры.

Таким образом, исследование процессов методом теории подобия должно состоять из следующих этапов:

1. Получив полное математическое описание процесса, т. е. составив дифференциальное уравнение и установив условия однозначности, про­водят подобное преобразование этого уравнения и находят критерии подобия.

2. Опытным путем на моделях устанавливают конкретный вид зави­симости между критериями подобия, причем полученное обобщенное расчетное уравнение справедливо для всех подобных явлений в исследо­ванных пределах изменения определяющих критериев подобия.

Принципы аналогии. Сущность математического моделирования. Для весьма сложных химико-технологических процессов, проводимых, напри­мер, в химических реакторах с катализаторами, подобное преобразование дифференциальных уравнений приводит к выводу зависимостей между большим числом критериев подобия. Надежное моделирование, таких про­цессов на малой опытной установке с последующим распространением полученных данных на производственные условия, т. е. применение изло­женных выше принципов физического моделирования, практически невоз­можно. Причина этого станет ясна на примере более простого случая — гидродинамического подобия (см. стр. 81).

В связи с этим исследование указанных процессов приходится прово­дить последовательно на ряде опытных установок, постепенно прибли­жающихся по масштабу к промышленным установкам, что сопряжено с большими затратами времени и средств.

Значительно более экономично и эффективно изучение характеристик сложных явлений на моделях, процессы в которых имеют иную физиче­скую сущность, чем процессы в натуре. В последние годы такой метод все шире применяется в инженерной практике.

В основе данного метода лежит свойство изоморфизма диффе­ренциальных уравнений, являющееся отражением единства законов при­роды. Это свойство заключается в том, что с помощью системы однотип­ных дифференциальных уравнений можно описывать различные по своей физической сущности явления. Например, аналогичные уравнения при­менимы для описания полей скоростей, температур, концентраций и т. д.

Таким образом, существует аналогия и между физически разно­родными процессами. Подобие физически однородных процессов можно рассматривать как частный случай аналогии.

Впервые такая аналогия была применена для технических целей акад. Н. Н. Павловским в начале 20-х годов. При этом использовалось единство структуры уравнений, описывающих столь различные, на пер­вый взгляд, процессы, как фильтрация жидкости сквозь пористые слои и распространение электрического тока в электропроводной среде. Филь­трация жидкости в грунтах различной пористости под плотиной модели­ровалась на электрической модели — ванне с электролитами разной электропроводности; аналогом плотины служил электроизолятор, погру­женный в раствор. Экспериментальное определение в этой ванне характе­ристик электрического поля (профиля кривых равного потенциала) при наложении разностей потенциалов, соответствующих различным разно­стям уровней жидкости до и после плотины, позволяет установить законо­

мерности фильтрации воды сквозь почвенные слои под плотиной. Коли­чественной характеристикой такой аналогии является критерий, полу­ченный подобным преобразованием однотипного дифференциального урав­нения, олисывающего оба процесса. Для соблюдения аналогии между гидродинамической натурой и электрической моделью значения этого критерия для натуры и модели должны быть одинаковы.

Таким образом, в данном случае для моделирования используется электрогидродинамическая аналогия. При исследовании процессов хими­ческой технологии указанную аналогию применяют для изучения распре­деления скоростей потоков в аппаратах, заполненных насадкой, ката­лизаторами, адсорбентами, для изучения режимов фильтрования суспен­зий и т. д.

Аналогия существует между электрическими, .тепловыми и массооб­менными процессами, а также между гидродинамическими, тепловыми и массообменными процессами. Поэтому при исследовании тепловых, массо­обменных или гидродинамических процессов можно использовать более простые и в каком-либо отношении более удобные, чем натура, модели, в которых протекает совсем другой физический процесс. Единственное условие применимости такого способа исследования заключается в том, что оба процесса должны описываться одинаковыми по виду дифферен­циальными уравнениями. Так, например, электротепловая аналогия может быть применена путем использования описанного выше метода электролитической ванны для исследования полей температур в реакцион­ных аппаратах.

Большое практическое значение имеет применение электриче­ских моделей, что связано со значительно большей скоростью рас­пространения электрического тока по сравнению со скоростью распро­странения тепла или вещества. Это позволяет значительно ускорить про­ведение опытов на моделях.

Кроме того, для соблюдения полного подобия двух физически одно­родных процессов (в частности, движения жидкости, см. стр. 81) часто требуется, чтобы некоторые физические свойства среды, используемой в модели, значительно отличались от соответствующих свойств рабочей среды в натуре. Поэтому в ряде случаев оказывается практически невоз­можным подобрать для модели среду с требуемыми свойствами. В подоб­ных условиях весьма плодотворно использование электрической модели.

Примером этому служит рассмотренный выше случай электрогидрав- лического моделирования. При физическом моделировании процесса филь­трации жидкости сквозь грунт на модели плотины было бы весьма трудно или невозможно менять в нужных пределах пористость фильтрующей среды; в электролитической же ванне изменение в широких пределах электропроводности раствора, являющейся аналогом пористости среды, не представляет никаких практических затруднений.

Наиболее перспективным методом применения аналогии между физи­чески разнородными процессами является метод математиче­ского моделирования, связанный с использованием электрон­ных вычислительных машин.

Математические машины можно эффективно применять в тех случаях, когда необходимые для вывода расчетных зависимостей решения диффе­ренциальных уравнений Осуществить другими способами очень сложно или практически невозможно. На машинах такие решения получают либо в виде непрерывных зависимостей (аналоговые машины *), либо в цифровом виде (дискретные, или цифровые, машины).

Принцип работы современных аналоговых машин основан на исполь­зовании аналогии между электрическими явлениями и математическими

* Рассмотренная выше электрическая модель в виде электролитической ванны такжа является аналоговым устройством.

Гл. II. Основы гидравлики. Общие вопросы прикладной гидравлики

действиями. Таким образом, применение принципа аналогии превращает в данном случае модель в счетно-решающее устройство. Это в значитель­ной степени устраняет различие между теоретическим исследованием (решение дифференциальных уравнений) и экспериментальным исследо­ванием (постановка опытов на моделях и последующее обобщение их результатов).

Математическое моделирование все более широко используется для исследования и проектирования различных процессов химической техно­логии. Анализ и моделирование таких сложных процессов, как разделе­ние многокомпонентных смесей (методами ректификации, абсорбции, экстракции и др.), химические реакционные процессы, проведение кото­рых в промышленных аппаратах осложнено гидродинамическими, диффу­зионными и тепловыми факторами, практически невозможны без приме­нения современной электронно-вычислительной техники.

При изучении таких процессов наиболее плодотворные результаты могут быть получены при правильном сочетании методов физического и математического моделирования.

Основные принципы метода анализа размерностей. Как отмечалось выше, многие процессы химической технологии зависят от такого боль­шого числа различных факторов, что для них не удается получить пол­ного математического описания; можно лишь в самом общем виде пред­ставить зависимость между различными переменными, влияющими на протекание процесса.

Если, например, согласно практическим данным, некоторая вели­чина а зависит от параметров |3, у, 6 и 0, то общий вид зависимости между данными величинами

Ф (а, р, у, б. 6) = О (И,75)

или

а = / (|3, у. 6, 0) (II,75а)

Для отыскания конкретного вида этой функциональной зависимости, т. е. для нахождения расчетного уравнения, может быть применен метод анализа размерностей.

В основу метода положена л-теорема Бэкингема, согласно кото­рой общую функциональную зависимость, связывающую между собой п переменных величин при т основных единицах их измерения, можно представить в виде зависимости между (п—т) безразмерными комплек­сами этих величин, а при наличии подобия — в виде связи между (п—т) критериями подобия.

Так, например, если рассматриваемое явление описывается в общем виде соотношением (11,75), связывающим пять каких-то физических величин, и если эти величины выражаются посредством трех основных единиц измерения, то п = 5 и т = 3. Следовательно, (п — т) — 2, и указанная функциональная зависимость может быть представлена в виде функции между некоторыми двумя безразмерными комплексами и л₂:

Ф(я_х, я₂) = О (П,76)

или

Я1 = /(я_а) (И,76а)

Рассмотрим использование метода анализа размерностей на этом примере, приняв, что размерности всех пяти величин, характеризующих процесс, выражаются через основные единицы измерения в СИ, а именно — единицы длины Ь (м), времени Т (сек) и массы М (кг).

Пусть, как это часто оказывается возможным при описании процессов, функция общего вида (П,75а) может быть приближенно представлена в виде степенной зависимости между величинами а, Р, у, б и 0:

а = х^у^г6^ив° (11,77)

где х, у, г, и, а — неизвестные числовые коэффициенты.