9., Дифференциальные уравнения движения Навье—Стокса

53

Сумму вторых производных по осям координат называют оператором Лапласа:

д*и>_х д²из_к

дх^г ду² дг^{г х}

Следовательно, проекция равнодействующей сил трения на ось х может быть представлена как

\іу²аі_х<іхсІусІ2

Соответственно проекции равнодействующей сил трения:

на ось у

на ось г

цуїмгсіхсіуііг

Проекции на оси координат равнодействующей всех сил (тяжести, давления и трения), действующих на элементарный объем капельной жидкости (с учетом проекций сил тяжести и давления, полученных при выводе уравнений Эйлера), составляют:

на ось х

I

( ~~ ~1Гх~ ⁺ №'^2изх ) Лхйуйг

( щр + йЖуйг

(— Р8 — + МУЧ) Лхйуйг

Суммы проекций сил на оси координат, в соответствии с основным принципом динамики, должны быть равны произведению массы жидкости рйхйуйг (р — плотность жидкости), заключенной в элементарном объеме, на проекции ускорения на оси координат. Поэтому, приравнивая проек-. ции равнодействующей произведениям массы на проекции ускорения, после сокращения на йхйуёг, получим

на ось у

на ось г

йхяу др , .

^р-л" = —аГ + ^Ч др . ,

(1ш_г др , „

(11,48)

где соответствующие субстанциональные производные выражены для установившегося и неустановившегося потоков уравнениями (11,47) или (П,47а).

Уравнения (11,48) представляют собой уравнения Навье — Стокса, описывающие движение вязкой капель­ной жидкости.

При движении сжимаемой жидкости (газа) в ией дополнительно возникают вызванные трением силы сжатия и растяжения, поэтому уравнения Навье—Стокса принимают вид:

Гл. II. Основы гидравлики. Общие вопросы прикладной гидравлики

<?0 дв дв

где частные производные-^-, -— и выражают изменения скорости по осям.*, у, г, связанные с действием сил сжатия и растяжения, причем

_А дъи_х дтп . дви_г 0 = - . ^ -Л. 4—_Е,

дх ду дг

Левые части уравнений (11,48) выражают произведение массы единицы объема р на проекцию ее ускорения, т. е. представляют собой проекции равнодействующей сил инерции, возникающих в движущейся жидкости.

В правых частях тех же уравнений произведение р£ отражает влияние

СИЛ тяжести, частные Производные Щ и влияние изменения

гидростатического давления, а произведения вязкости на сумму вторых производных проекций скорости — влияние сил трения на движущуюся жидкость.

Каждый член уравнений (11,48) имеет размерность соответствующей силы (тяжести, давления, трения или инерции), отнесенной к единице объема жидкости.

При движении идеальной жидкости, когда силы трения отсутствуют, при подстановке |х = 0 в уравнения (11,48) последние совпадают с'урав­нениями (11,46), т. е. уравнения движения Эйлера можно получить как частный случай уравнений Навье—Стокса.

Полное описание движения вязкой жидкости в его наиболее общей форме возможно путем решения уравнений Навье—Стокса совместно с уравнением неразрывности потока. Однако уравнения Навье—Стокса не могут быть решены в общем виде. Получены решения этой сложной системы уравнений только для некоторых частных случаев. Так, для уста­новившегося ламинарного движения жидкости решение уравнений Навье— Стокса позволяет вывести уравнение Пуазейля, полученное выше другим способом.

В большинстве же наиболее важных для промышленной практики случаев применение уравнений Навье—Стокса становится возможным либо при ряде упрощающих допущений, либо при преобразовании этих уравнений методами теории подобия (см. стр. 78 сл.).

1. _г 10. Уравнение Бернулли

Решение уравнений движения Эйлера для установившегося потока приводит к одному из наиболее важных и широко используемых уравне­ний гидродинамики — уравнению Бернулли.

Умножив левые и правые части каждого из уравнений (11,46) соответ­ственно на йх, ёу и йг и разделив на плотность р-жидкости, получим

йх . 1 др ,

—т— ахи_х = ■ йх

йх ^х р дх

йу 1 др .

—г— с1и>_и йу

йх. ^у рду

^ ^ 1 др . _ч-йи_1г = -цйг- — .-£-йг

Сложим эти уравнения, учитывая, что производные ~ и выра­жают проекции 1№_х, х1)_д, ш_г скорости на соответствующие оси координат. Тогда

ю_хйт_х + и1уйш_е + = — цйг йх 4- -0- йу 4- йг^