Лабораторная работа 3.7. Построение прямой по методу наименьших квадратов
Задание.
Построить оптимальную прямую для
заданных точек на плоскости с координатами
(
).
Варианты задания.
Для расчета на ЭВМ следует взять
точек. Для ручного счета
точки. Точки берутся из таблиц Л3.7.1 –
Л3.7.2 подряд, начиная с номера
студента по журналу.
Таблица Л3.7.1. Варианты заданий.
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 |
|
2 3 3 5 6 7 13 13 11 10 9 8 2 2 4 5 6 7 8 8 3 9 11 |
|
1 2 3 4 7 7 15 17 11.5 10 8 6.5 1 3 4 5.5 6 6.5 7 9 3 8 10 |
Таблица Л3.7.2. Варианты заданий (продолжение).
|
24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 |
|
13 14 14 8 5 7 12 2 1 8 15 12 12 7 5 9 6 7 7 5 |
|
12 13 14 9 6 7 11 1 1 7 15 13 12 6.5 5 8 6 6.5 8 4 |
Пример выполнения лабораторной работы.
Пусть заданы координаты точек, представленные в таблице Л3.7.3.
Таблица Л3.7.3. Координаты заданных точек.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
4 |
5 |
3 |
6 |
10 |
8 |
9 |
7 |
|
2 |
2,5 |
2 |
4 |
4,5 |
5 |
4 |
5 |
9 |
7 |
8 |
7 |
Ручной счет.
Расчет сведен в табличную форму (см. таблицу Л3.7.4).
Подставляем полученные значения в
систему уравнений относительно
коэффициентов искомой прямой
и
:
Таблица Л3.7.4. Ручной счет.
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
2 |
2,5 |
4 |
5 |
3 |
3 |
2 |
9 |
6 |
4 |
4 |
4 |
16 |
16 |
|
10 |
10,5 |
30 |
29 |
Решая эту систему, например, по методу Крамера, получим:
;
,
где
;
;
.
Следовательно,
;
.
Итак, уравнение искомой прямой имеет
вид:
.
Выполнение работы на ЭВМ.
Пример программы на Фортране:
program lab_3_7 integer(4), parameter :: n=12 real(4), dimension(n) :: x,y real(4) :: s,sx,sy,sxy,sxx,a,b integer(4) :: i open(1,file=’inpdata.dat’) ! Исходные данные вводятся из файла read(1,*)x read(1,*)y print 1,x 1 format(2x,’Dannie eksperimenta’,/2x,’X:’,(12f6.1)) print 2,y 2 format(2x,’Y:’,(12f6.1)) s=0.; sx=0.; sy=0.; sxy=0.; sxx=0. do i=1,n sx=sx+x(i); sy=sy+y(i); sxy=sxy+x(i)*y(i); sxx=sxx+x(i)*x(i) end do a=(n*sxy-sx*sy)/(n*sxx-sx*sx); b=(sy-a*sx)/n do i=1,n s=s+(a*x(i)+b-y(i))**2 ! Вычисление суммы квадратов отклонений end do print 3,a,b,s 3 format(10x,’MNK-pryamaya’/10x,’y=’,f8.4,’x+’,f8.4,5x,’s=’,f8.4) pause end |
Результаты расчета:
Dannie eksperimenta
X: 1.0 2.0 3.0 4.0 4.0 5.0 3.0 6.0 10.0 8.0 9.0 7.0
Y: 2.0 2.5 2.0 4.0 4.5 5.0 4.0 5.0 9.0 7.0 8.0 7.0
MNK-pryamaya
y= 0.7918x+ 0.9089 s= 3.2807