Лабораторная работа 3.5. Численное интегрирование

Задание.

Задан интеграл

; – полином третьей степени.

1. Требуется вычислить заданный интеграл вручную по формулам методов прямоугольников, трапеций, Симпсона, приняв .

2. Требуется вычислить заданный интеграл на ЭВМ по стандартной подпрограмме QATR, а также одним (или всеми) из численных методов (прямоугольников, трапеций, Симпсона) по указанию преподавателя.

Варианты задания.

,

где ;

– номер группы; – номер студента по журналу.

Пример выполнения лабораторной работы.

Вычислить

, где .

Ручной счет.

; .

Метод прямоугольников.

Имеем: , , .

Дальнейший расчет сведен в табличную форму (см. таблицу Л3.5.1).

Таблица Л3.5.1. Вычисление интеграла методом прямоугольников.

1	0.375	0.713
2	1.125	–0.283
3	1.875	–3.951
4	2.625	–12.822

На основании данных, приведенных в таблице Л3.4.1, вычисляем:

,

откуда .

Метод трапеций.

Имеем: , , .

Дальнейший расчет сведен в табличную форму (см. таблицу Л3.5.2).

Таблица Л3.5.2. Вычисление интеграла методом трапеций.

0	0.0	1.0
1	0.75	0.391
2	1.5	–1.625
3	2.25	–7.578
4	3.0	–20.0

На основании данных, приведенных в таблице Л3.4.1, вычисляем:

,

откуда .

Метод Симпсона.

Имеем: , , .

Дальнейший расчет сведен в табличную форму (см. таблицу Л3.5.3).

Таблица Л3.5.3. Вычисление интеграла методом Симпсона.

0	0.0	1.0
1	0.75	0.391
2	1.5	–1.625
3	2.25	–7.578
4	3.0	–20.0

На основании данных, приведенных в таблице Л3.4.1, вычисляем:

,

откуда .

Выполнение работы на ЭВМ.

Пример программы на Фортране:

program lab_3_5 ! Требуется подключить файл real(4), external :: p,pr,tr,simps ! qatr.for содержащий real(4), dimension(20) :: r ! подпрограмму QATR из real(4) :: a,b,eps,sq ! математической библиотеки integer(4) :: n,nmax,ier ! SSP print *,’ Vvedite a,b,eps,nmax’ read *, a,b,eps,nmax print 1, aintegr(a,b,eps,nmax,n,pr,p),n print 2, aintegr(a,b,eps,nmax,n,tr,p),n print 3, aintegr(a,b,eps,nmax,n,simps,p),n call qatr(a,b,eps,20,p,sq,ier,r) print 4, sq 1 format(1x,’Metod pryamougolnikov: integral=’,f10.3,3x,’n=’,i6) 2 format(1x,’Metod trapetsiy: integral=’,f10.3,3x,’n=’,i6) 3 format(1x,’Metod Simpsona: integral=’,f10.3,3x,’n=’,i6) 4 format(1x,’S/p QATR: integral=’,f10.3) end ! Подпрограмма вычисления интеграла одним из трех методов function aintegr(a,b,eps,nmax,n,sint,f) external f real(4) :: a,b,s1,s2,f,eps,aintegr integer(4) :: n,nmax n=4 s1=sint(a,b,f,n) 1 n=2*n s2=sint(a,b,f,n) if(abs(s2-s1)<eps.or.n>nmax) goto2 s1=s2 goto 1 2 aintegr=s2 end ! Подпрограмма вычисления интеграла по формуле прямоугольников function pr(a,b,f,n) real(4) :: a,b,h,x,s,pr,f integer(4) :: n h=(b-a)/n; x=a+h/2; s=0. do i=1,n s=s+f(x); x=x+h end do pr=h*s end ! Подпрограмма вычисления интеграла по формуле трапеций function tr(a,b,f,n) real(4) :: a,b,h,x,s,tr,f integer(4) :: n h=(b-a)/n; x=a; s=(f(a)+f(b))/2 do i=2,n x=x+h; s=s+f(x) end do tr=h*s end ! Подпрограмма вычисления интеграла по формуле Симпсона function simps(a,b,f,n) real(4) :: a,b,h,x,s,simps,f integer(4) :: n,z h=(b-a)/n; x=a+h; s=f(a)+f(b); z=1 do i=2,n s=s+(3+z)*f(x); z=-z; x=x+h end do simps=h/3*s end ! Подпрограмма вычисления подынтегральной функции function p(x) real(4) :: x,p p=1-x+x**2-x**3 end

Результаты расчета:

Metod pryamougolnikov: integral= -12.750 n= 256

Metod trapetsiy: integral= -12.750 n= 256

Metod Simpsona: integral= -12.750 n= 8

S/p QATR: integral= -12.750

По тексту программы необходимо сделать ряд пояснений и замечаний.

1. В приведенной программе реализованы все три рассматриваемые в настоящем курсе формулы численного интегрирования:

• п/п PR – вычисление интеграла по формуле прямоугольников;

• п/п TR – вычисление интеграла по формуле трапеций;

• п/п SIMPS – вычисление интеграла по формуле Симпсона.

2. При выполнении задания необходимо составить программу лишь для одного (или всех) из этих методов, указанного преподавателем.

3. Переменная (в программе – nmax) определяет количество отрезков, на которые делится интервал интегрирования для вычисления интеграла с заданной точностью. При этом значение n последовательно удваивается до тех пор, пока изменение приближенного значения интеграла не станет меньше заданного малого числа (в программе – eps), значение которого вводится. При расчете было принято: nmax=1000, eps=0.001.

4. К данной программе необходимо подключить стандартную подпрограмму QATR.